微分積分例

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

ステップ 6

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{π}{2}$ および $- \frac{π}{2}$ で $\sin (x)$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

ステップ 7.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

ステップ 7.3.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 7.3.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

ステップ 7.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

ステップ 7.3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

ステップ 7.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

ステップ 7.3.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

ステップ 8

分母を簡約します。

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ステップ 8.1

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

ステップ 8.2

因数分解した形で $\frac{π + π}{2}$ を書き換えます。

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ステップ 8.2.1

$π$ と $π$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

ステップ 8.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 π}{2}$ を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

ステップ 8.2.2.1.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

ステップ 8.2.2.2

$π$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{π}$ と $- 2$ をまとめます。

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

ステップ 9.2

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = - \frac{2}{π}$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例