微分積分例

$f (x) = e^{x} - x$ , $- 2 \leq x \leq 2$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $e^{x} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{x} - 1$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $e^{x} - 1$ です。

$e^{x} - 1$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $e^{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$e^{x} - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$e^{x} = 1$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

ステップ 1.2.4

左辺を展開します。

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ステップ 1.2.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (1)$

ステップ 1.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (1)$

ステップ 1.2.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (1)$

ステップ 1.2.5

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $e^{x} - x$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$e^{0} - (0)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 - (0)$

ステップ 1.4.1.2.2

$1$ から $0$ を引きます。

$1$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 1)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$e^{- 2} - (- 2)$

ステップ 2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{2}} - (- 2)$

ステップ 2.1.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{e^{2}} + 2$

ステップ 2.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$e^{2} - (2)$

ステップ 2.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{2} - 2$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, \frac{1}{e^{2}} + 2), (2, e^{2} - 2)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(2, e^{2} - 2)$

最小値： $(0, 1)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例