微分積分例

$x {(16 - x)}^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x)}^{3}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 16 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $16 - x$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $16 - x$ で置き換えます。

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $16 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.9

${(16 - x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

${(16 - x)}^{2}$ を $x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.4.1.1

${(16 - x)}^{2}$ を $x (- 3 {(16 - x)}^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(16 - x)}^{3}$

ステップ 1.1.4.1.2

${(16 - x)}^{2}$ を ${(16 - x)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

ステップ 1.1.4.1.3

${(16 - x)}^{2}$ を ${(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ で因数分解します。

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 16 - x)$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 16 - x)$

ステップ 1.1.4.2.2

$- 3 x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は ${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$ です。

${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 ${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(16 - x)}^{2} = 0$

$- 4 x + 16 = 0$

ステップ 2.3

${(16 - x)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

${(16 - x)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(16 - x)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について ${(16 - x)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$16 - x$ が $0$ に等しいとします。

$16 - x = 0$

ステップ 2.3.2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.2.2.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- x = - 16$

ステップ 2.3.2.2.2

$- x = - 16$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$- x = - 16$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 16}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.3.1

$- 16$ を $- 1$ で割ります。

$x = 16$

ステップ 2.4

$- 4 x + 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$- 4 x + 16$ が $0$ に等しいとします。

$- 4 x + 16 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $- 4 x + 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- 4 x = - 16$

ステップ 2.4.2.2

$- 4 x = - 16$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$- 4 x = - 16$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 16}{- 4}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

$- 16$ を $- 4$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 2.5

最終解は ${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 16, 4$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x {(16 - x)}^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 16$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$16$ を $x$ に代入します。

$(16) {(16 - (16))}^{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $16$ をかけます。

$16 {(16 - 16)}^{3}$

ステップ 4.1.2.2

$16$ から $16$ を引きます。

$16 \cdot 0^{3}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$16 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.4

$16$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$(4) {(16 - (4))}^{3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 {(16 - 4)}^{3}$

ステップ 4.2.2.2

$16$ から $4$ を引きます。

$4 \cdot 12^{3}$

ステップ 4.2.2.3

$12$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 1728$

ステップ 4.2.2.4

$4$ に $1728$ をかけます。

$6912$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(16, 0), (4, 6912)$

ステップ 5

微分積分 例

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