微分積分例

$\int_{6 x}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u$

ステップ 1

積分を2つの積分に分割し、 $c$ が $6 x$ と $7 x$ の間の値になるようにます。

$\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{c} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u + \int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

ステップ 2

総和則では、 $\int_{6 x}^{c} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u + \int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{c} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$ です。

$\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{c} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

ステップ 3

積分の境界を入れ替えます。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{6 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

ステップ 4

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $- \int_{c}^{6 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [6 x] (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

ステップ 5.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

ステップ 6

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u$ の微分係数を取ります。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [7 x] \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{d}{d x} [x] \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \cdot 1 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$7$ に $1$ をかけます。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.2

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$6 (- \frac{{(6 (x))}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

積の法則を $6 (x)$ に当てはめます。

$6 (- \frac{6^{2} x^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.3.2

$6$ を $2$ 乗します。

$6 (- \frac{36 x^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.4

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$6 (- \frac{36 x^{2} - 5}{{(6 (x))}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.1

積の法則を $6 (x)$ に当てはめます。

$6 (- \frac{36 x^{2} - 5}{6^{2} x^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.5.2

$6$ を $2$ 乗します。

$6 (- \frac{36 x^{2} - 5}{36 x^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.5.3

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \frac{36 x^{2} - 5}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.6

$- 6$ と $\frac{36 x^{2} - 5}{36 x^{2} + 5}$ をまとめます。

$\frac{- 6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.8

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{{(7 (x))}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.9.1

積の法則を $7 (x)$ に当てはめます。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{7^{2} x^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.9.2

$7$ を $2$ 乗します。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{49 x^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.10

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{49 x^{2} - 5}{{(7 (x))}^{2} + 5}$

ステップ 7.3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.11.1

積の法則を $7 (x)$ に当てはめます。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{49 x^{2} - 5}{7^{2} x^{2} + 5}$

ステップ 7.3.11.2

$7$ を $2$ 乗します。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{49 x^{2} - 5}{49 x^{2} + 5}$

ステップ 7.3.12

$7$ と $\frac{49 x^{2} - 5}{49 x^{2} + 5}$ をまとめます。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + \frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5}$

ステップ 8

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{49 x^{2} + 5}{49 x^{2} + 5}$ を掛けます。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} \cdot \frac{49 x^{2} + 5}{49 x^{2} + 5} + \frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5}$

ステップ 9

$\frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{36 x^{2} + 5}{36 x^{2} + 5}$ を掛けます。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} \cdot \frac{49 x^{2} + 5}{49 x^{2} + 5} + \frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5} \cdot \frac{36 x^{2} + 5}{36 x^{2} + 5}$

ステップ 10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5}$ に $\frac{49 x^{2} + 5}{49 x^{2} + 5}$ をかけます。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5) (49 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)} + \frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5} \cdot \frac{36 x^{2} + 5}{36 x^{2} + 5}$

ステップ 10.2

$\frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5}$ に $\frac{36 x^{2} + 5}{36 x^{2} + 5}$ をかけます。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5) (49 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)} + \frac{7 (49 x^{2} - 5) (36 x^{2} + 5)}{(49 x^{2} + 5) (36 x^{2} + 5)}$

ステップ 10.3

$(49 x^{2} + 5) (36 x^{2} + 5)$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5) (49 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)} + \frac{7 (49 x^{2} - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 6 (36 x^{2} - 5) (49 x^{2} + 5) + 7 (49 x^{2} - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(- 6 (36 x^{2}) - 6 \cdot - 5) (49 x^{2} + 5) + 7 (49 x^{2} - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(- 6 (36 x^{2}) - 6 \cdot - 5) (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1.1

$36$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{(- 216 x^{2} - 6 \cdot - 5) (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.1.2

$- 6$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{(- 216 x^{2} + 30) (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 216 x^{2} + 30) (49 x^{2} + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 216 x^{2} (49 x^{2} + 5) + 30 (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 216 x^{2} (49 x^{2}) - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 216 x^{2} (49 x^{2}) - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 216 \cdot 49 x^{2} x^{2} - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{- 216 \cdot 49 (x^{2} x^{2}) - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 216 \cdot 49 x^{2 + 2} - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 216 \cdot 49 x^{4} - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.3.1.3

$- 216$ に $49$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.3.1.4

$5$ に $- 216$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} - 1080 x^{2} + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.3.1.5

$49$ に $30$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} - 1080 x^{2} + 1470 x^{2} + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.3.1.6

$30$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} - 1080 x^{2} + 1470 x^{2} + 150 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.3.2

$- 1080 x^{2}$ と $1470 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.4.1

$49$ に $7$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + (343 x^{2} + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.4.2

$7$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + (343 x^{2} - 35) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(343 x^{2} - 35) (36 x^{2} + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 x^{2} (36 x^{2} + 5) - 35 (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 x^{2} (36 x^{2}) + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 x^{2} (36 x^{2}) + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 \cdot 36 x^{2} x^{2} + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.6.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.6.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 \cdot 36 (x^{2} x^{2}) + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 \cdot 36 x^{2 + 2} + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.6.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 \cdot 36 x^{4} + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.6.1.3

$343$ に $36$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.6.1.4

$5$ に $343$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 1715 x^{2} - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.6.1.5

$36$ に $- 35$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 1715 x^{2} - 1260 x^{2} - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.6.1.6

$- 35$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 1715 x^{2} - 1260 x^{2} - 175}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.1.6.2

$1715 x^{2}$ から $1260 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 455 x^{2} - 175}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.2

$- 10584 x^{4}$ と $12348 x^{4}$ をたし算します。

$\frac{1764 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 455 x^{2} - 175}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.3

$390 x^{2}$ と $455 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1764 x^{4} + 845 x^{2} + 150 - 175}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

ステップ 12.3.4

$150$ から $175$ を引きます。

$\frac{1764 x^{4} + 845 x^{2} - 25}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

微分積分 例

微分積分例