微分積分例

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7}{x^{2}}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.3.10

$- 2$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

ステップ 1.1.1.4.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3}$ とします。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 1.1.1.4.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.4.4

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.4.4.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.4.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

ステップ 1.1.1.4.6

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

ステップ 1.1.1.4.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

ステップ 1.1.1.4.6.3

$2$ から $6$ を引きます。

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

ステップ 1.1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

ステップ 1.1.1.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

ステップ 1.1.1.5.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.4.1

$0$ から $\frac{1}{x^{2}}$ を引きます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4.2

$- 14$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4.4

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.8

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.10

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.2.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$- 14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{14}{x^{3}}$ の微分係数は $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3}$ とします。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.8

$- 3$ に $- 14$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{x^{4}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

ステップ 1.1.2.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $x^{4}$ とします。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

ステップ 1.1.2.4.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

ステップ 1.1.2.4.3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

ステップ 1.1.2.4.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

ステップ 1.1.2.4.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

ステップ 1.1.2.4.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

ステップ 1.1.2.4.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

ステップ 1.1.2.4.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

ステップ 1.1.2.4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{3 - 8})$

ステップ 1.1.2.4.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 5})$

ステップ 1.1.2.4.8

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

ステップ 1.1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

ステップ 1.1.2.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 x^{- 5}$

ステップ 1.1.2.5.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 1.1.2.5.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.1

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 1.1.2.5.4.2

$42$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 1.1.2.5.4.3

$12$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$ です。

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$

ステップ 1.2.2.2

Since $x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ .

ステップ 1.2.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 1.2.2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.2.2.5

$1, 1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 1.2.2.6

$x^{3}$ の因数は $x \cdot x \cdot x$ です。これは $x$ を $3$ 倍したものです。

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ は $3$ 回発生します。

ステップ 1.2.2.7

$x^{4}$ の因数は $x \cdot x \cdot x \cdot x$ です。これは $x$ を $4$ 倍したものです。

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ は $4$ 回発生します。

ステップ 1.2.2.8

$x^{5}$ の因数は $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ です。これは $x$ を $5$ 倍したものです。

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ は $5$ 回発生します。

ステップ 1.2.2.9

$x^{3}, x^{4}, x^{5}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

ステップ 1.2.2.10

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.10.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

ステップ 1.2.2.10.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.10.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.10.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

ステップ 1.2.2.10.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

ステップ 1.2.2.10.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} \cdot x \cdot x$

ステップ 1.2.2.10.3

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.10.3.1

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.10.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

ステップ 1.2.2.10.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3 + 1} \cdot x$

ステップ 1.2.2.10.3.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$x^{4} \cdot x$

ステップ 1.2.2.10.4

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.10.4.1

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.10.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} \cdot x^{1}$

ステップ 1.2.2.10.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4 + 1}$

ステップ 1.2.2.10.4.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$x^{5}$

ステップ 1.2.3

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ の各項に $x^{5}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ の各項に $x^{5}$ を掛けます。

$\frac{2}{x^{3}} x^{5} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1.1

$x^{3}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$x^{4}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

ステップ 1.2.3.2.1.3

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

ステップ 1.2.3.2.1.3.2

式を書き換えます。

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0 x^{5}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$0$ に $x^{5}$ をかけます。

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0$

ステップ 1.2.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$2$ を $2 x^{2} + 42 x + 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 42 x + 12 = 0$

ステップ 1.2.4.1.2

$2$ を $42 x$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 2 (21 x) + 12 = 0$

ステップ 1.2.4.1.3

$2$ を $12$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 2 (21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

ステップ 1.2.4.1.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 (21 x)$ で因数分解します。

$2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

ステップ 1.2.4.1.5

$2$ を $2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6$ で因数分解します。

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$

ステップ 1.2.4.2

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2.1.2

$x^{2} + 21 x + 6$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 21 x + 6 = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x^{2} + 21 x + 6 = 0$

ステップ 1.2.4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.4.4

$a = 1$ 、 $b = 21$ 、および $c = 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.5.1.1

$21$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.5.1.2.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.5.1.3

$441$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

ステップ 1.2.4.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.1.1

$21$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.1.2.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.1.3

$441$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 21 + \sqrt{417}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.4

$- 21$ を $- 1 (21)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{417}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.5

$- 1$ を $\sqrt{417}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{417})}{2}$

ステップ 1.2.4.6.6

$- 1$ を $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{417})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{417})}{2}$

ステップ 1.2.4.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}$

ステップ 1.2.4.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.7.1.1

$21$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.7.1.2.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.7.1.3

$441$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

ステップ 1.2.4.7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 21 - \sqrt{417}}{2}$

ステップ 1.2.4.7.4

$- 21$ を $- 1 (21)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{417}}{2}$

ステップ 1.2.4.7.5

$- 1$ を $- \sqrt{417}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{417})}{2}$

ステップ 1.2.4.7.6

$- 1$ を $- 1 (21) - (\sqrt{417})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{417})}{2}$

ステップ 1.2.4.7.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

ステップ 1.2.4.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

ステップ 2

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.2

$\frac{7}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

$\frac{1}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 2.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.5.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.5.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 23$ で置換えます。

$f'' (- 23) = \frac{2}{{(- 23)}^{3}} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 23$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 23$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

ステップ 4.2.1.3

$- 23$ を $5$ 乗します。

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

ステップ 4.2.1.4

$\frac{2}{- 12167}$ に $\frac{- 529}{- 529}$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} \cdot \frac{- 529}{- 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

ステップ 4.2.1.5

$\frac{2}{- 12167}$ に $\frac{- 529}{- 529}$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

ステップ 4.2.1.6

$\frac{42}{279841}$ に $\frac{23}{23}$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} \cdot \frac{23}{23} + \frac{12}{- 6436343}$

ステップ 4.2.1.7

$\frac{42}{279841}$ に $\frac{23}{23}$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343}$

ステップ 4.2.1.8

$\frac{12}{- 6436343}$ に $\frac{- 1}{- 1}$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.2.1.9

$\frac{12}{- 6436343}$ に $\frac{- 1}{- 1}$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

ステップ 4.2.1.10

$- 12167$ に $- 529$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

ステップ 4.2.1.11

$279841 \cdot 23$ の因数を並べ替えます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{23 \cdot 279841} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

ステップ 4.2.1.12

$23$ に $279841$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

ステップ 4.2.1.13

$- 6436343$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{6436343}$

ステップ 4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ に $- 529$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

ステップ 4.2.3.2

$42$ に $23$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

ステップ 4.2.3.3

$12$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 - 12}{6436343}$

ステップ 4.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$- 1058$ と $966$ をたし算します。

$f'' (- 23) = \frac{- 92 - 12}{6436343}$

ステップ 4.2.4.2

$- 92$ から $12$ を引きます。

$f'' (- 23) = \frac{- 104}{6436343}$

ステップ 4.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 23) = - \frac{104}{6436343}$

ステップ 4.2.5

最終的な答えは $- \frac{104}{6436343}$ です。

$- \frac{104}{6436343}$

ステップ 4.3

$f'' (- 23)$ が負なので、区間 $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f'' (- 3) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

ステップ 5.2.1.3

$- 3$ を $5$ 乗します。

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

ステップ 5.2.1.4

$\frac{2}{- 27}$ に $\frac{- 9}{- 9}$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} \cdot \frac{- 9}{- 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

ステップ 5.2.1.5

$\frac{2}{- 27}$ に $\frac{- 9}{- 9}$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

ステップ 5.2.1.6

$\frac{42}{81}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} \cdot \frac{3}{3} + \frac{12}{- 243}$

ステップ 5.2.1.7

$\frac{42}{81}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243}$

ステップ 5.2.1.8

$\frac{12}{- 243}$ に $\frac{- 1}{- 1}$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.2.1.9

$\frac{12}{- 243}$ に $\frac{- 1}{- 1}$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.1.10

$- 27$ に $- 9$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.1.11

$81 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.1.12

$3$ に $81$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.1.13

$- 243$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{243}$

ステップ 5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

ステップ 5.2.3.2

$42$ に $3$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 + 12 \cdot - 1}{243}$

ステップ 5.2.3.3

$12$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 - 12}{243}$

ステップ 5.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 18$ と $126$ をたし算します。

$f'' (- 3) = \frac{108 - 12}{243}$

ステップ 5.2.4.2

$108$ から $12$ を引きます。

$f'' (- 3) = \frac{96}{243}$

ステップ 5.2.4.3

$96$ と $243$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$3$ を $96$ で因数分解します。

$f'' (- 3) = \frac{3 (32)}{243}$

ステップ 5.2.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.2.1

$3$ を $243$ で因数分解します。

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

ステップ 5.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

ステップ 5.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 3) = \frac{32}{81}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $\frac{32}{81}$ です。

$\frac{32}{81}$

ステップ 5.3

$f'' (- 3)$ が正なので、区間 $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.14$ で置換えます。

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{{(- 0.14)}^{3}} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.14$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{- 0.002744} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ を $- 0.002744$ で割ります。

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 0.14$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{0.00038416} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

ステップ 6.2.1.4

$42$ を $0.00038416$ で割ります。

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

ステップ 6.2.1.5

$- 0.14$ を $5$ 乗します。

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{- 0.00005378}$

ステップ 6.2.1.6

$12$ を $- 0.00005378$ で割ります。

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 - 223121.31849824$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 728.86297376$ と $109329.44606413$ をたし算します。

$f'' (- 0.14) = 108600.58309037 - 223121.31849824$

ステップ 6.2.2.2

$108600.58309037$ から $223121.31849824$ を引きます。

$f'' (- 0.14) = - 114520.73540786$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 114520.73540786$ です。

$- 114520.73540786$

ステップ 6.3

$f'' (- 0.14)$ が負なので、区間 $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

ステップ 7.2.1.2

$2$ を $4$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

ステップ 7.2.1.3

$2$ を $5$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

ステップ 7.2.1.4

$\frac{2}{8}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

ステップ 7.2.1.5

$\frac{2}{8}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

ステップ 7.2.1.6

$\frac{42}{16}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{12}{32}$

ステップ 7.2.1.7

$\frac{42}{16}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

ステップ 7.2.1.8

$8 \cdot 4$ の因数を並べ替えます。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

ステップ 7.2.1.9

$4$ に $8$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

ステップ 7.2.1.10

$16 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{12}{32}$

ステップ 7.2.1.11

$2$ に $16$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{32} + \frac{12}{32}$

ステップ 7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

ステップ 7.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{8 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

ステップ 7.2.3.2

$42$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{8 + 84 + 12}{32}$

ステップ 7.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$8$ と $84$ をたし算します。

$f'' (2) = \frac{92 + 12}{32}$

ステップ 7.2.4.2

$92$ と $12$ をたし算します。

$f'' (2) = \frac{104}{32}$

ステップ 7.2.4.3

$104$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.3.1

$8$ を $104$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{8 (13)}{32}$

ステップ 7.2.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.3.2.1

$8$ を $32$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

ステップ 7.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

ステップ 7.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (2) = \frac{13}{4}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{13}{4}$ です。

$\frac{13}{4}$

ステップ 7.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例