微分積分例

$f (x) = - e^{x} (x - 1)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x} (x - 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1))$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

ステップ 1.1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = - (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

ステップ 1.1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

ステップ 1.1.1.3.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

ステップ 1.1.1.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = - (e^{x} + (x - 1) e^{x})$

ステップ 1.1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x})$

ステップ 1.1.1.5.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - e^{x} - (x e^{x}) - (- 1 e^{x})$

ステップ 1.1.1.5.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.5.3.1

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$f' (x) = - e^{x} - x e^{x} + e^{x}$

ステップ 1.1.1.5.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}$

ステップ 1.1.1.5.3.3

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - e^{x} - x e^{x} + e^{x}$

ステップ 1.1.1.5.3.4

$- e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$f' (x) = - x e^{x} + 0$

ステップ 1.1.1.5.3.5

$- x e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - x e^{x}$

ステップ 1.1.1.5.4

$- x e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - e^{x} x$

ステップ 1.1.1.5.5

$- e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x e^{x}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x})$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.2.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 1.1.2.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 1.1.2.5

簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x}$

ステップ 1.1.2.5.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - e^{x} x - e^{x}$

ステップ 1.1.2.5.3

$- e^{x} x - e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - x e^{x} - e^{x}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- x e^{x} - e^{x}$ です。

$- x e^{x} - e^{x}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- x e^{x} - e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- x e^{x} - e^{x} = 0$

ステップ 1.2.2

$e^{x}$ を $- x e^{x} - e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$e^{x}$ を $- x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} (- x) - e^{x} = 0$

ステップ 1.2.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$e^{x} (- x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$- x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 1.2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 1.2.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 1.2.5

$- x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$- x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- x - 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $- x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- x = 1$

ステップ 1.2.5.2.2

$- x = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$- x = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 1.2.6

最終解は $e^{x} (- x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = 4 \cdot e^{- 4} - e^{- 4}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 4) = 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} - e^{- 4}$

ステップ 4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{4}{e^{4}} - e^{- 4}$

ステップ 4.2.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 4) = \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e^{4}}$

ステップ 4.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{4 - 1}{e^{4}}$

ステップ 4.2.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 4) = \frac{3}{e^{4}}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\frac{3}{e^{4}}$ です。

$\frac{3}{e^{4}}$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - e^{0}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{0}$

ステップ 5.2.1.2

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

ステップ 5.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 1$

ステップ 5.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (0) = - 1$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 1, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

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