微分積分例

$x^{3} + 2 x^{2}$

ステップ 1

$x^{3} + 2 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

微分します。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{2})$

ステップ 2.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{2})$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 (2 x)$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 4 x$ です。

$3 x^{2} + 4 x$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 4 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 4 x = 0$

ステップ 3.2

$x$ を $3 x^{2} + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$x (3 x) + 4 x = 0$

ステップ 3.2.2

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$x (3 x) + x \cdot 4 = 0$

ステップ 3.2.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot 4$ で因数分解します。

$x (3 x + 4) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

$3 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$3 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 4 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $3 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$3 x = - 4$

ステップ 3.5.2.2

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{3}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4}{3}$

ステップ 3.6

最終解は $x (3 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{4}{3}$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - \frac{4}{3}$ です。

$0, - \frac{4}{3}$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{4}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.3333334$ で置換えます。

$f' (- 2.3333334) = 3 {(- 2.3333334)}^{2} + 4 (- 2.3333334)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 2.3333334$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.3333334) = 3 \cdot 5.44444475 + 4 (- 2.3333334)$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $5.44444475$ をかけます。

$f' (- 2.3333334) = 16.33333426 + 4 (- 2.3333334)$

ステップ 6.2.1.3

$4$ に $- 2.3333334$ をかけます。

$f' (- 2.3333334) = 16.33333426 - 9.3333336$

ステップ 6.2.2

$16.33333426$ から $9.3333336$ を引きます。

$f' (- 2.3333334) = 7.000000\overline{6}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $7.000000\overline{6}$ です。

$7.000000\overline{6}$

ステップ 6.3

$x = - 2.3333334$ で微分係数は $7.000000\overline{6}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{4}{3})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{4}{3})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 1.3333334, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.6666667$ で置換えます。

$f' (- 0.6666667) = 3 {(- 0.6666667)}^{2} + 4 (- 0.6666667)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 0.6666667$ を $2$ 乗します。

$f' (- 0.6666667) = 3 \cdot 0.44444448 + 4 (- 0.6666667)$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $0.44444448$ をかけます。

$f' (- 0.6666667) = 1.33333346 + 4 (- 0.6666667)$

ステップ 7.2.1.3

$4$ に $- 0.6666667$ をかけます。

$f' (- 0.6666667) = 1.33333346 - 2.6666668$

ステップ 7.2.2

$1.33333346$ から $2.6666668$ を引きます。

$f' (- 0.6666667) = - 1.\overline{3}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 1.\overline{3}$ です。

$- 1.\overline{3}$

ステップ 7.3

$x = - 0.6666667$ で微分係数は $- 1.\overline{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 1.3333334, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \frac{4}{3}, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 4 (1)$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 4 (1)$

ステップ 8.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 + 4 (1)$

ステップ 8.2.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 + 4$

ステップ 8.2.2

$3$ と $4$ をたし算します。

$f' (1) = 7$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $7$ です。

$7$

ステップ 8.3

$x = 1$ で微分係数は $7$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - \frac{4}{3}), (0, \infty)$ で増加

$(- \frac{4}{3}, 0)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

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