微分積分例

$(1 - x) e^{x}$

ステップ 1

$(1 - x) e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = (1 - x) e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = 1 - x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = (1 - x) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (1 - x)$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (1 - x)$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.1.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 2.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} \cdot - 1$

ステップ 2.1.3.6.2

$- 1$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = (1 - x) e^{x} - 1 \cdot e^{x}$

ステップ 2.1.3.6.3

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$f' (x) = (1 - x) e^{x} - e^{x}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 1 e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

ステップ 2.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

ステップ 2.1.4.2.2

$e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$f' (x) = - x e^{x} + 0$

ステップ 2.1.4.2.3

$- x e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - x e^{x}$

ステップ 2.1.4.3

$- x e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - e^{x} x$

ステップ 2.1.4.4

$- e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x e^{x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.2.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 2.2.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x}$

ステップ 2.2.5.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - e^{x} x - e^{x}$

ステップ 2.2.5.3

$- e^{x} x - e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - x e^{x} - e^{x}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- x e^{x} - e^{x}$ です。

$- x e^{x} - e^{x}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- x e^{x} - e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- x e^{x} - e^{x} = 0$

ステップ 3.2

$e^{x}$ を $- x e^{x} - e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$e^{x}$ を $- x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} (- x) - e^{x} = 0$

ステップ 3.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$e^{x} (- x - 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$- x - 1 = 0$

ステップ 3.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

$- x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- x - 1 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $- x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- x = 1$

ステップ 3.5.2.2

$- x = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$- x = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 3.6

最終解は $e^{x} (- x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$- 1$ を $f (x) = (1 - x) e^{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = (1 - (- 1)) \cdot e^{- 1}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = (1 + 1) \cdot e^{- 1}$

ステップ 4.1.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

ステップ 4.1.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

ステップ 4.1.2.4

$2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$f (- 1) = \frac{2}{e}$

ステップ 4.1.2.5

最終的な答えは $\frac{2}{e}$ です。

$\frac{2}{e}$

ステップ 4.2

$f (x) = (1 - x) e^{x}$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, \frac{2}{e})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, \frac{2}{e})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = 1.1 \cdot e^{- 1.1} - e^{- 1.1}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 1.1) = 1.1 \cdot \frac{1}{e^{1.1}} - e^{- 1.1}$

ステップ 6.2.1.2

$1.1$ と $\frac{1}{e^{1.1}}$ をまとめます。

$f'' (- 1.1) = \frac{1.1}{e^{1.1}} - e^{- 1.1}$

ステップ 6.2.1.3

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 1.1) = \frac{1.1}{{2.71828182}^{1.1}} - e^{- 1.1}$

ステップ 6.2.1.4

$2.71828182$ を $1.1$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = \frac{1.1}{3.00416602} - e^{- 1.1}$

ステップ 6.2.1.5

$1.1$ を $3.00416602$ で割ります。

$f'' (- 1.1) = 0.36615819 - e^{- 1.1}$

ステップ 6.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 1.1) = 0.36615819 - \frac{1}{e^{1.1}}$

ステップ 6.2.2

$0.36615819$ から $\frac{1}{e^{1.1}}$ を引きます。

$f'' (- 1.1) = 0.0332871$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.0332871$ です。

$0.0332871$

ステップ 6.3

$- 1.1$ で二次導関数は $0.0332871$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.9$ で置換えます。

$f'' (- 0.9) = 0.9 \cdot e^{- 0.9} - e^{- 0.9}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 0.9) = 0.9 \cdot \frac{1}{e^{0.9}} - e^{- 0.9}$

ステップ 7.2.1.2

$0.9$ と $\frac{1}{e^{0.9}}$ をまとめます。

$f'' (- 0.9) = \frac{0.9}{e^{0.9}} - e^{- 0.9}$

ステップ 7.2.1.3

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 0.9) = \frac{0.9}{{2.71828182}^{0.9}} - e^{- 0.9}$

ステップ 7.2.1.4

$2.71828182$ を $0.9$ 乗します。

$f'' (- 0.9) = \frac{0.9}{2.45960311} - e^{- 0.9}$

ステップ 7.2.1.5

$0.9$ を $2.45960311$ で割ります。

$f'' (- 0.9) = 0.36591269 - e^{- 0.9}$

ステップ 7.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 0.9) = 0.36591269 - \frac{1}{e^{0.9}}$

ステップ 7.2.2

$0.36591269$ から $\frac{1}{e^{0.9}}$ を引きます。

$f'' (- 0.9) = - 0.04065696$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 0.04065696$ です。

$- 0.04065696$

ステップ 7.3

$- 0.9$ で二次導関数は $- 0.04065696$ です。これは負の値なので、 $(- 1, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 1, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- 1, \frac{2}{e})$ です。

$(- 1, \frac{2}{e})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例