微分積分例

$x^{7} \ln (x)$

ステップ 1

$x^{7} \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{7} \ln (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{7} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7})$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = x^{7} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7})$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x^{7}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7})$

ステップ 2.1.3.2

$x^{7}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

$x$ を $x^{7}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7})$

ステップ 2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7})$

ステップ 2.1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7})$

ステップ 2.1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7})$

ステップ 2.1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x^{6}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7})$

ステップ 2.1.3.2.2.5

$x^{6}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{6} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7})$

ステップ 2.1.3.3

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})$

ステップ 2.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [7 x^{6} \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (7 x^{6} \ln (x))$

ステップ 2.2.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (7 x^{6} \ln (x))$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [7 x^{6} \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{6} \ln (x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 \frac{d}{d x} (x^{6} \ln (x))$

ステップ 2.2.2.2

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (x^{6} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

ステップ 2.2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (x^{6} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

ステップ 2.2.2.4

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (x^{6} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 2.2.2.5

$x^{6}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 2.2.2.6

$x^{6}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

$x$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 2.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 2.2.2.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 2.2.2.6.2.3

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 2.2.2.6.2.4

式を書き換えます。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 2.2.2.6.2.5

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 x^{5} + 7 (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 2.2.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$6$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x^{5} + 7 x^{5} + 42 (\ln (x) (x^{5}))$

ステップ 2.2.3.2.2

$6 x^{5}$ と $7 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = 13 x^{5} + 42 \ln (x) x^{5}$

ステップ 2.2.3.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x)$ です。

$13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $13 x^{5}$ を引きます。

$42 x^{5} \ln (x) = - 13 x^{5}$

ステップ 3.3

$42 x^{5} \ln (x) = - 13 x^{5}$ の各項を $42 x^{5}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$42 x^{5} \ln (x) = - 13 x^{5}$ の各項を $42 x^{5}$ で割ります。

$\frac{42 x^{5} \ln (x)}{42 x^{5}} = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$42$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{42 x^{5} \ln (x)}{42 x^{5}} = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{5} \ln (x)}{x^{5}} = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 3.3.2.2

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{5} \ln (x)}{x^{5}} = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 3.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 3.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (x) = \frac{- 13}{42}$

ステップ 3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{13}{42}$

ステップ 3.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{13}{42}}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{13}{42}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{13}{42}} = x$

ステップ 3.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式を $x = e^{- \frac{13}{42}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{13}{42}}$

ステップ 3.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}$ を $f (x) = x^{7} \ln (x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})}^{7} \ln (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

積の法則を $\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1^{7}}{{(e^{\frac{13}{42}})}^{7}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$

ステップ 4.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{13}{42}})}^{7}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$

ステップ 4.1.2.3

${(e^{\frac{13}{42}})}^{7}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1}{e^{\frac{13}{42} \cdot 7}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$

ステップ 4.1.2.3.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

$7$ を $42$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1}{e^{\frac{13}{7 (6)} \cdot 7}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$

ステップ 4.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1}{e^{\frac{13}{7 \cdot 6} \cdot 7}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$

ステップ 4.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1}{e^{\frac{13}{6}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$

ステップ 4.1.2.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{13}{42}}$ を分子に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1}{e^{\frac{13}{6}}} \cdot \ln (e^{- \frac{13}{42}})$

ステップ 4.1.2.5

$- \frac{13}{42}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{13}{42}})$ を展開します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1}{e^{\frac{13}{6}}} \cdot (- \frac{13}{42} \cdot \ln (e))$

ステップ 4.1.2.6

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1}{e^{\frac{13}{6}}} \cdot (- \frac{13}{42} \cdot 1)$

ステップ 4.1.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = \frac{1}{e^{\frac{13}{6}}} \cdot (- \frac{13}{42})$

ステップ 4.1.2.8

$\frac{1}{e^{\frac{13}{6}}}$ に $\frac{13}{42}$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = - \frac{13}{e^{\frac{13}{6}} \cdot 42}$

ステップ 4.1.2.9

$42$ を $e^{\frac{13}{6}}$ の左に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) = - \frac{13}{42 e^{\frac{13}{6}}}$

ステップ 4.1.2.10

最終的な答えは $- \frac{13}{42 e^{\frac{13}{6}}}$ です。

$- \frac{13}{42 e^{\frac{13}{6}}}$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{7} \ln (x)$ で代入して $\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}$ 求めた点は、 $(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, - \frac{13}{42 e^{\frac{13}{6}}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, - \frac{13}{42 e^{\frac{13}{6}}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.63379629$ で置換えます。

$f'' (0.63379629) = 13 {(0.63379629)}^{5} + 42 {(0.63379629)}^{5} \ln (0.63379629)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.63379629$ を $5$ 乗します。

$f'' (0.63379629) = 13 \cdot 0.10227005 + 42 {(0.63379629)}^{5} \ln (0.63379629)$

ステップ 6.2.1.2

$13$ に $0.10227005$ をかけます。

$f'' (0.63379629) = 1.32951073 + 42 {(0.63379629)}^{5} \ln (0.63379629)$

ステップ 6.2.1.3

$0.63379629$ を $5$ 乗します。

$f'' (0.63379629) = 1.32951073 + 42 \cdot (0.10227005 \ln (0.63379629))$

ステップ 6.2.1.4

$42$ に $0.10227005$ をかけます。

$f'' (0.63379629) = 1.32951073 + 4.29534238 \ln (0.63379629)$

ステップ 6.2.1.5

対数の中の $4.29534238$ を移動させて $4.29534238 \ln (0.63379629)$ を簡約します。

$f'' (0.63379629) = 1.32951073 + \ln ({0.63379629}^{4.29534238})$

ステップ 6.2.1.6

$0.63379629$ を $4.29534238$ 乗します。

$f'' (0.63379629) = 1.32951073 + \ln (0.14102826)$

ステップ 6.2.2

$1.32951073$ と $\ln (0.14102826)$ をたし算します。

$f'' (0.63379629) = - 0.62928424$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.62928424$ です。

$- 0.62928424$

ステップ 6.3

$0.63379629$ で二次導関数は $- 0.62928424$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.83379629$ で置換えます。

$f'' (0.83379629) = 13 {(0.83379629)}^{5} + 42 {(0.83379629)}^{5} \ln (0.83379629)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.83379629$ を $5$ 乗します。

$f'' (0.83379629) = 13 \cdot 0.40299514 + 42 {(0.83379629)}^{5} \ln (0.83379629)$

ステップ 7.2.1.2

$13$ に $0.40299514$ をかけます。

$f'' (0.83379629) = 5.23893692 + 42 {(0.83379629)}^{5} \ln (0.83379629)$

ステップ 7.2.1.3

$0.83379629$ を $5$ 乗します。

$f'' (0.83379629) = 5.23893692 + 42 \cdot (0.40299514 \ln (0.83379629))$

ステップ 7.2.1.4

$42$ に $0.40299514$ をかけます。

$f'' (0.83379629) = 5.23893692 + 16.92579622 \ln (0.83379629)$

ステップ 7.2.1.5

対数の中の $16.92579622$ を移動させて $16.92579622 \ln (0.83379629)$ を簡約します。

$f'' (0.83379629) = 5.23893692 + \ln ({0.83379629}^{16.92579622})$

ステップ 7.2.1.6

$0.83379629$ を $16.92579622$ 乗します。

$f'' (0.83379629) = 5.23893692 + \ln (0.04611869)$

ステップ 7.2.2

$5.23893692$ と $\ln (0.04611869)$ をたし算します。

$f'' (0.83379629) = 2.16240009$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $2.16240009$ です。

$2.16240009$

ステップ 7.3

$0.83379629$ で二次導関数は $2.16240009$ です。これは正の値なので、 $(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, - \frac{13}{42 e^{\frac{13}{6}}})$ です。

$(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, - \frac{13}{42 e^{\frac{13}{6}}})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例