微分積分例

$y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

ステップ 1

$y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ を関数で書きます。

$f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$f (x) = \log_{3} (x)$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 2.1.2.1.2

$u$ に関する $\log_{3} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (3)}$ です。

$1 + \frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 2.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 2.1.2.2

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.1.2.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + 0)$

ステップ 2.1.2.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x)$

ステップ 2.1.2.6

$2$ と $\frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ をまとめます。

$1 + \frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)} x$

ステップ 2.1.2.7

$\frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ と $x$ をまとめます。

$1 + \frac{2 x}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$1 + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

ステップ 2.1.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)} + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

ステップ 2.1.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3) + 2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

ステップ 2.1.3.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ および $g (x) = x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)] - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

総和則では、 $x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ です。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.2

$\ln (3)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} \ln (3)$ の微分係数は $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.4

$2$ を $\ln (3)$ の左に移動させます。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.7

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.8

$5 \ln (3)$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5 \ln (3)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + 0) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.9

$2 \ln (3) x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.10

総和則では、 $x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ です。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.11

$\ln (3)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} \ln (3)$ の微分係数は $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.13

$2$ を $\ln (3)$ の左に移動させます。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.14

$5 \ln (3)$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5 \ln (3)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 0)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.15

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.15.1

$2 \ln (3) x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.2.15.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) + (- 2 (x^{2} \ln (3)) - 2 (2 x) - 2 (5 \ln (3))) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.1.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (3)$ を簡約します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (3^{5})) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.1.2

$3$ を $5$ 乗します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.2.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (3)$ を簡約します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (3^{2}) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x + 2) + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.4.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.4.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x \cdot x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.4.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.4.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.4.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.4.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (3)$ を簡約します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3^{2}) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.4.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.4.4

$\ln (243) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.4.4.1

$\ln (243)$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + 2 \cdot \ln (243) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.4.4.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln (243)$ を簡約します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (243^{2}) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.4.5

$243$ を $2$ 乗します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x \cdot x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1} x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1 + 2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{3} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.6

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (3)$ を簡約します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (3^{2})) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.7

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.8

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.8.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 (x \cdot x)) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.8.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x^{2}) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.9

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 4 x^{2} \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.10

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (3)$ を簡約します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (3^{4})) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.11

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.12

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (3)$ を簡約します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (3^{5}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.13

$3$ を $5$ 乗します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (243) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.14

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (243)$ を簡約します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (243^{2}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.1.15

$243$ を $2$ 乗します。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.2

$x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.1

$x^{3} \ln (3) \ln (9)$ と $x^{3} (- \ln (9)) \ln (3)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.2.2

$x^{3} \ln (3) \ln (9)$ から $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ を引きます。

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + 0 + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.2.3

$x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.3.3

$x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) + \ln (59049) - x^{2} \ln (81) - x \ln (59049) \ln (3)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.2.3.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$ です。

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x \ln (243) \ln (9)$ を移動させます。

$x^{2} \ln (9) - x^{2} \ln (81) + x \ln (243) \ln (9) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

ステップ 3.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3.3

$a = \ln (9) - \ln (81)$ 、 $b = \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)$ 、および $c = \ln (59049)$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot ((\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049))}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.2

$- (- \ln (3) \ln (59049))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.2.2

$\ln (3)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.3

${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ を $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ に書き換えます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.4.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.4.2

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.4.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.1.1

指数を足して $\ln (243)$ に $\ln (243)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.1.1.1

$\ln (243)$ を移動させます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.1.2

$\ln (243)$ に $\ln (243)$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.2

指数を足して $\ln (9)$ に $\ln (9)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.1.2.1

$\ln (9)$ を移動させます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) (\ln (9) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.2.2

$\ln (9)$ に $\ln (9)$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.4

指数を足して $\ln (3)$ に $\ln (3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.1.4.1

$\ln (3)$ を移動させます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.4.2

$\ln (3)$ に $\ln (3)$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.5

指数を足して $\ln (59049)$ に $\ln (59049)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.1.5.1

$\ln (59049)$ を移動させます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) (\ln (59049) \ln (59049)) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.5.2

$\ln (59049)$ に $\ln (59049)$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.6

$- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.5.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + 1 \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.1.6.2

$\ln^{2} (3)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.2

$\ln (3)$ を移動させます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) - 1 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.5.3

$- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ から $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ を引きます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.6

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) - 4 (- \ln (81))) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.7

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) + 4 \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.4.8

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.5.2

$- 1$ を $- \ln (243) \ln (9)$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.5.3

$- 1$ を $\ln (3) \ln (59049)$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.5.4

$- 1$ を $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.5.5

$- 1$ を $\sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.5.6

$- 1$ を $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.5.7

$- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ を $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.5.8

分数の前に負数を移動させます。

ステップ 3.3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.6.1.2

$- (- \ln (3) \ln (59049))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.6.1.2.2

$\ln (3)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.6.1.3

${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ を $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ に書き換えます。

ステップ 3.3.6.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.4.1

分配則を当てはめます。

ステップ 3.3.6.1.4.2

分配則を当てはめます。

ステップ 3.3.6.1.4.3

分配則を当てはめます。

ステップ 3.3.6.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1.1

指数を足して $\ln (243)$ に $\ln (243)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1.1.1

$\ln (243)$ を移動させます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.1.2

$\ln (243)$ に $\ln (243)$ をかけます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.2

指数を足して $\ln (9)$ に $\ln (9)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1.2.1

$\ln (9)$ を移動させます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.2.2

$\ln (9)$ に $\ln (9)$ をかけます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.4

指数を足して $\ln (3)$ に $\ln (3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1.4.1

$\ln (3)$ を移動させます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.4.2

$\ln (3)$ に $\ln (3)$ をかけます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.5

指数を足して $\ln (59049)$ に $\ln (59049)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1.5.1

$\ln (59049)$ を移動させます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.5.2

$\ln (59049)$ に $\ln (59049)$ をかけます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.6

$- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

ステップ 3.3.6.1.5.1.6.2

$\ln^{2} (3)$ に $1$ をかけます。

ステップ 3.3.6.1.5.2

$\ln (3)$ を移動させます。

ステップ 3.3.6.1.5.3

$- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ から $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ を引きます。

ステップ 3.3.6.1.6

分配則を当てはめます。

ステップ 3.3.6.1.7

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

ステップ 3.3.6.1.8

分配則を当てはめます。

ステップ 3.3.6.2

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.6.3

$- 1$ を $- \ln (243) \ln (9)$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.6.4

$- 1$ を $\ln (3) \ln (59049)$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.6.5

$- 1$ を $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.6.6

$- 1$ を $- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ で因数分解します。

ステップ 3.3.6.7

$- 1$ を $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.6.8

$- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ を $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.6.9

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 3.3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}, - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2.23606797$ を $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 2.23606797$ で置換えます。

$f (- 2.23606797) = (- 2.23606797) + \log_{3} ({(- 2.23606797)}^{2} + 5)$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 2.23606797$ を $2$ 乗します。

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

ステップ 4.1.2.1.2

$5$ と $5$ をたし算します。

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (10)$

ステップ 4.1.2.1.3

$10$ の対数の底 $3$ は約 $2.09590327$ です。

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + 2.09590327$

ステップ 4.1.2.2

$- 2.23606797$ と $2.09590327$ をたし算します。

$f (- 2.23606797) = - 0.1401647$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $- 0.1401647$ です。

$- 0.1401647$

ステップ 4.2

$f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ で代入して $- 2.23606797$ 求めた点は、 $(- 2.23606797, - 0.1401647)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2.23606797, - 0.1401647)$

ステップ 4.3

$2.23606797$ を $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $2.23606797$ で置換えます。

$f (2.23606797) = (2.23606797) + \log_{3} ({(2.23606797)}^{2} + 5)$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$2.23606797$ を $2$ 乗します。

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

ステップ 4.3.2.1.2

$5$ と $5$ をたし算します。

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (10)$

ステップ 4.3.2.1.3

$10$ の対数の底 $3$ は約 $2.09590327$ です。

$f (2.23606797) = 2.23606797 + 2.09590327$

ステップ 4.3.2.2

$2.23606797$ と $2.09590327$ をたし算します。

$f (2.23606797) = 4.33197125$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $4.33197125$ です。

$4.33197125$

ステップ 4.4

$f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ で代入して $2.23606797$ 求めた点は、 $(2.23606797, 4.33197125)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2.23606797, 4.33197125)$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2.23606797) \cup (- 2.23606797, 2.23606797) \cup (2.23606797, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2.23606797)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.33606797$ で置換えます。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{{(- 2.33606797)}^{2} \ln (9) + (- 2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2.33606797$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

対数の中の $5.45721359$ を移動させて $5.45721359 \ln (9)$ を簡約します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$9$ を $5.45721359$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.4

対数の中の $2.33606797$ を移動させて $- 2.33606797 \ln (243)$ を簡約します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.5

$243$ を $2.33606797$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.6

$- 2.33606797$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.7

$- 1$ に $5.45721359$ をかけます。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.8

$- 5.45721359$ に $\ln (81)$ をかけます。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.9

対数の中の $2.33606797$ を移動させて $2.33606797 \ln (3)$ を簡約します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.10

$3$ を $2.33606797$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.11

$\ln (161252.03194789)$ から $23.98144767$ を引きます。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- \ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.12

$- \ln (374057.54800345) \ln (9)$ から $11.99072383$ を引きます。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 40.18587201 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.13

$- 40.18587201$ と $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ をたし算します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.14

$- 11.99072383$ と $\ln (59049)$ をたし算します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 2.33606797$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

対数の中の $5.45721359$ を移動させて $5.45721359 \ln (3)$ を簡約します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$3$ を $5.45721359$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (3)$ を簡約します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.5

$3$ を $5$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.6

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

ステップ 6.2.2.7

$401.56199016$ に $243$ をかけます。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

ステップ 6.2.4

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

ステップ 6.2.5

$97579.56361088$ の対数の底 $2.71828182$ は約 $11.48842336$ です。

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

ステップ 6.2.6

$11.48842336$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

ステップ 6.2.7

$1.00460094$ を $131.98387132$ で割ります。

$f'' (- 2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

ステップ 6.2.8

$- 1$ に $0.00761154$ をかけます。

$f'' (- 2.33606797) = - 0.00761154$

ステップ 6.2.9

最終的な答えは $- 0.00761154$ です。

$- 0.00761154$

ステップ 6.3

$- 2.33606797$ で二次導関数は $- 0.00761154$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 2.23606797)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 2.23606797)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 2.23606797, 2.23606797)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} \ln (9) + (0) \ln (243) \ln (9) - {(0)}^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(0)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{0 \ln (9) + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$0$ に $\ln (9)$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$0$ に $\ln (243)$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4

$0$ に $\ln (9)$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.7

$0$ に $\ln (81)$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.8

$0$ に $\ln (3)$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.9

$0$ に $\ln (59049)$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.10

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.11

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.1.13

$0$ と $\ln (59049)$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$0$ に $\ln (3)$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (3)$ を簡約します。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (3^{5}))}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4

$3$ を $5$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (243))}^{2}}$

ステップ 7.2.2.5

$0$ と $\ln (243)$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$ です。

$\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $0.36409569$ です。これは正の値なので、 $(- 2.23606797, 2.23606797)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 2.23606797, 2.23606797)$ で増加

ステップ 8

区間 $(2.23606797, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2.33606797$ で置換えます。

$f'' (2.33606797) = \frac{{(2.33606797)}^{2} \ln (9) + (2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(2.33606797)}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2.33606797$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

対数の中の $5.45721359$ を移動させて $5.45721359 \ln (9)$ を簡約します。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

$9$ を $5.45721359$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.4

対数の中の $2.33606797$ を移動させて $2.33606797 \ln (243)$ を簡約します。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.5

$243$ を $2.33606797$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.6

$2.33606797$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.7

$- 1$ に $5.45721359$ をかけます。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.8

$- 5.45721359$ に $\ln (81)$ をかけます。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.9

対数の中の $2.33606797$ を移動させて $- 2.33606797 \ln (3)$ を簡約します。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.10

$3$ を $2.33606797$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.11

$\ln (161252.03194789)$ から $23.98144767$ を引きます。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.12

$\ln (374057.54800345) \ln (9)$ から $11.99072383$ を引きます。

$f'' (2.33606797) = \frac{16.20442434 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.13

$16.20442434$ から $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ を引きます。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.1.14

$- 11.99072383$ と $\ln (59049)$ をたし算します。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$2.33606797$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

対数の中の $5.45721359$ を移動させて $5.45721359 \ln (3)$ を簡約します。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

$3$ を $5.45721359$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

ステップ 8.2.2.4

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (3)$ を簡約します。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

ステップ 8.2.2.5

$3$ を $5$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

ステップ 8.2.2.6

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

ステップ 8.2.2.7

$401.56199016$ に $243$ をかけます。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

ステップ 8.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

ステップ 8.2.4

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

ステップ 8.2.5

$97579.56361088$ の対数の底 $2.71828182$ は約 $11.48842336$ です。

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

ステップ 8.2.6

$11.48842336$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

ステップ 8.2.7

$1.00460094$ を $131.98387132$ で割ります。

$f'' (2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

ステップ 8.2.8

$- 1$ に $0.00761154$ をかけます。

$f'' (2.33606797) = - 0.00761154$

ステップ 8.2.9

最終的な答えは $- 0.00761154$ です。

$- 0.00761154$

ステップ 8.3

$2.33606797$ で二次導関数は $- 0.00761154$ です。これは負の値なので、 $(2.23606797, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(2.23606797, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$ です。

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例