微分積分例

${(\cos (\frac{4 π}{7}) + i \sin (\frac{4 π}{7}))}^{5}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\cos (\frac{4 π}{7})$ の値を求めます。

${(- 0.22252093 + i \sin (\frac{4 π}{7}))}^{5}$

ステップ 1.2

$\sin (\frac{4 π}{7})$ の値を求めます。

${(- 0.22252093 + i \cdot 0.97492791)}^{5}$

ステップ 1.3

$0.97492791$ を $i$ の左に移動させます。

${(- 0.22252093 + 0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 2

二項定理を利用します。

${(- 0.22252093)}^{5} + 5 {(- 0.22252093)}^{4} (0.97492791 i) + 10 {(- 0.22252093)}^{3} {(0.97492791 i)}^{2} + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 0.22252093$ を $5$ 乗します。

$- 0.00054557 + 5 {(- 0.22252093)}^{4} (0.97492791 i) + 10 {(- 0.22252093)}^{3} {(0.97492791 i)}^{2} + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.2

$- 0.22252093$ を $4$ 乗します。

$- 0.00054557 + 5 \cdot 0.00245179 (0.97492791 i) + 10 {(- 0.22252093)}^{3} {(0.97492791 i)}^{2} + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.3

$5$ に $0.00245179$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01225895 (0.97492791 i) + 10 {(- 0.22252093)}^{3} {(0.97492791 i)}^{2} + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.4

$0.97492791$ に $0.01225895$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 10 {(- 0.22252093)}^{3} {(0.97492791 i)}^{2} + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.5

$- 0.22252093$ を $3$ 乗します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 10 \cdot - 0.01101825 {(0.97492791 i)}^{2} + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.6

$10$ に $- 0.01101825$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i - 0.1101825 {(0.97492791 i)}^{2} + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.7

積の法則を $0.97492791 i$ に当てはめます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i - 0.1101825 ({0.97492791}^{2} i^{2}) + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.8

$0.97492791$ を $2$ 乗します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i - 0.1101825 (0.95048443 i^{2}) + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.9

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i - 0.1101825 (0.95048443 \cdot - 1) + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.10

$- 0.1101825 (0.95048443 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.1

$0.95048443$ に $- 1$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i - 0.1101825 \cdot - 0.95048443 + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.10.2

$- 0.1101825$ に $- 0.95048443$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 + 10 {(- 0.22252093)}^{2} {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.11

$- 0.22252093$ を $2$ 乗します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 + 10 \cdot 0.04951556 {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.12

$10$ に $0.04951556$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 + 0.49515566 {(0.97492791 i)}^{3} + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.13

積の法則を $0.97492791 i$ に当てはめます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 + 0.49515566 ({0.97492791}^{3} i^{3}) + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.14

$0.97492791$ を $3$ 乗します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 + 0.49515566 (0.9266538 i^{3}) + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.15

$i^{2}$ を因数分解します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 + 0.49515566 (0.9266538 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.16

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 + 0.49515566 (0.9266538 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.17

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 + 0.49515566 (0.9266538 (- i)) + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.18

$- 1$ に $0.9266538$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 + 0.49515566 (- 0.9266538 i) + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.19

$- 0.9266538$ に $0.49515566$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i + 5 \cdot - 0.22252093 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.20

$5$ に $- 0.22252093$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.11260466 {(0.97492791 i)}^{4} + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.21

積の法則を $0.97492791 i$ に当てはめます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.11260466 ({0.97492791}^{4} i^{4}) + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.22

$0.97492791$ を $4$ 乗します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.11260466 (0.90342065 i^{4}) + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.23

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.23.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.11260466 (0.90342065 {(i^{2})}^{2}) + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.23.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.11260466 (0.90342065 {(- 1)}^{2}) + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.23.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.11260466 (0.90342065 \cdot 1) + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.24

$- 1.11260466 (0.90342065 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.24.1

$0.90342065$ に $1$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.11260466 \cdot 0.90342065 + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.24.2

$- 1.11260466$ に $0.90342065$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.00515004 + {(0.97492791 i)}^{5}$

ステップ 3.1.25

積の法則を $0.97492791 i$ に当てはめます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.00515004 + {0.97492791}^{5} i^{5}$

ステップ 3.1.26

$0.97492791$ を $5$ 乗します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.00515004 + 0.88077001 i^{5}$

ステップ 3.1.27

$i^{4}$ を因数分解します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.00515004 + 0.88077001 (i^{4} i)$

ステップ 3.1.28

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.28.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.00515004 + 0.88077001 ({(i^{2})}^{2} i)$

ステップ 3.1.28.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.00515004 + 0.88077001 ({(- 1)}^{2} i)$

ステップ 3.1.28.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.00515004 + 0.88077001 (1 i)$

ステップ 3.1.29

$i$ に $1$ をかけます。

$- 0.00054557 + 0.01195159 i + 0.10472675 - 0.45883787 i - 1.00515004 + 0.88077001 i$

ステップ 3.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 0.00054557$ と $0.10472675$ をたし算します。

$0.10418117 + 0.01195159 i - 0.45883787 i - 1.00515004 + 0.88077001 i$

ステップ 3.2.2

$0.10418117$ から $1.00515004$ を引きます。

$- 0.90096886 + 0.01195159 i - 0.45883787 i + 0.88077001 i$

ステップ 3.2.3

$0.01195159 i$ から $0.45883787 i$ を引きます。

$- 0.90096886 - 0.44688627 i + 0.88077001 i$

ステップ 3.2.4

$- 0.44688627 i$ と $0.88077001 i$ をたし算します。

$- 0.90096886 + 0.43388373 i$

ステップ 4

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 5

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 6

$a = - 0.90096886$ と $b = 0.43388373$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{0.43388373}^{2} + {(- 0.90096886)}^{2}}$

ステップ 7

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$0.43388373$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0.18825509 + {(- 0.90096886)}^{2}}$

ステップ 7.2

$- 0.90096886$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0.18825509 + 0.8117449}$

ステップ 7.3

$0.18825509$ と $0.8117449$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{1}$

ステップ 7.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

ステップ 7.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 1$

ステップ 8

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0.43388373}{- 0.90096886})$

ステップ 9

$\frac{0.43388373}{- 0.90096886}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $\frac{6 π}{7}$ です。

$θ = \frac{6 π}{7}$

ステップ 10

$θ = \frac{6 π}{7}$ と $| z | = 1$ の値を代入します。

$1 (\cos (\frac{6 π}{7}) + i \sin (\frac{6 π}{7}))$

微分積分 例

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