微分積分例

$y^{2} - 12 y + 4 x + 4 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$- 12 y + 4 x + 4 = - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺に $12 y$ を足します。

$4 x + 4 = - y^{2} + 12 y$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$4 x = - y^{2} + 12 y - 4$

ステップ 1.1.2

$4 x = - y^{2} + 12 y - 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$4 x = - y^{2} + 12 y - 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{12 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{12 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{12 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$4$ を $12 y$ で因数分解します。

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (3 y)}{4} + \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (3 y)}{4 (1)} + \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (3 y)}{4 \cdot 1} + \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{3 y}{1} + \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.4

$3 y$ を $1$ で割ります。

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 3 y + \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 4$ を $4$ で割ります。

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 3 y - 1$

ステップ 1.2

$- \frac{y^{2}}{4} + 3 y - 1$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 3$

$c = - 1$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{4}}$

ステップ 1.2.3.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{3}{\frac{2 (- 1)}{4}}$

ステップ 1.2.3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{3}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = \frac{3}{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 3 (- 1 \cdot 2)$

ステップ 1.2.3.2.4

$3 (- 1 \cdot 2)$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = 3 \cdot - 2$

ステップ 1.2.3.2.4.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$d = - 6$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 1 - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$e = - 1 - \frac{9}{4 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - 1 - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e = - 1 - \frac{9}{\frac{- 4}{4}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$- 4$ を $4$ で割ります。

$e = - 1 - \frac{9}{- 1}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$9$ を $- 1$ で割ります。

$e = - 1 - - 9$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$e = - 1 + 9$

ステップ 1.2.4.2.2

$- 1$ と $9$ をたし算します。

$e = 8$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{4} {(y - 6)}^{2} + 8$ に代入します。

$- \frac{1}{4} {(y - 6)}^{2} + 8$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 6)}^{2} + 8$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 8$

$k = 6$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(8, 6)$

ステップ 4

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 4.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 4.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

ステップ 4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 4.3.2

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

ステップ 4.3.3

$4$ を $4$ で割ります。

$- \frac{1}{1}$

ステップ 4.3.4

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{1}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 5

焦点を求めます。

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ステップ 5.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 5.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(7, 6)$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例