微分積分例

$f (x) = 9 x^{6} - 11 x^{5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $9 x^{6} - 11 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{6}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{6}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$f' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 9 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

ステップ 1.1.2.3

$6$ に $9$ をかけます。

$f' (x) = 54 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 11 x^{5}$ の微分係数は $- 11 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = 54 x^{5} - 11 \frac{d}{d x} x^{5}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 54 x^{5} - 11 (5 x^{4})$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $- 11$ をかけます。

$f' (x) = 54 x^{5} - 55 x^{4}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $54 x^{5} - 55 x^{4}$ です。

$54 x^{5} - 55 x^{4}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $54 x^{5} - 55 x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$54 x^{5} - 55 x^{4} = 0$

ステップ 2.2

$x^{4}$ を $54 x^{5} - 55 x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{4}$ を $54 x^{5}$ で因数分解します。

$x^{4} (54 x) - 55 x^{4} = 0$

ステップ 2.2.2

$x^{4}$ を $- 55 x^{4}$ で因数分解します。

$x^{4} (54 x) + x^{4} \cdot - 55 = 0$

ステップ 2.2.3

$x^{4}$ を $x^{4} (54 x) + x^{4} \cdot - 55$ で因数分解します。

$x^{4} (54 x - 55) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{4} = 0$

$54 x - 55 = 0$

ステップ 2.4

$x^{4}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{4}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$54 x - 55$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$54 x - 55$ が $0$ に等しいとします。

$54 x - 55 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $54 x - 55 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $55$ を足します。

$54 x = 55$

ステップ 2.5.2.2

$54 x = 55$ の各項を $54$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$54 x = 55$ の各項を $54$ で割ります。

$\frac{54 x}{54} = \frac{55}{54}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$54$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{54 x}{54} = \frac{55}{54}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{55}{54}$

ステップ 2.6

最終解は $x^{4} (54 x - 55) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{55}{54}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, \frac{55}{54}$ です。

$0, \frac{55}{54}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{55}{54}) \cup (\frac{55}{54}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 54 {(- 1)}^{5} - 55 {(- 1)}^{4}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f' (- 1) = 54 \cdot - 1 - 55 {(- 1)}^{4}$

ステップ 5.2.1.2

$54$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 54 - 55 {(- 1)}^{4}$

ステップ 5.2.1.3

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f' (- 1) = - 54 - 55 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.4

$- 55$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 54 - 55$

ステップ 5.2.2

$- 54$ から $55$ を引きます。

$f' (- 1) = - 109$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 109$ です。

$- 109$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 109$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, \frac{55}{54})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.5092593$ で置換えます。

$f' (0.5092593) = 54 {(0.5092593)}^{5} - 55 {(0.5092593)}^{4}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0.5092593$ を $5$ 乗します。

$f' (0.5092593) = 54 \cdot 0.0342527 - 55 {(0.5092593)}^{4}$

ステップ 6.2.1.2

$54$ に $0.0342527$ をかけます。

$f' (0.5092593) = 1.84964594 - 55 {(0.5092593)}^{4}$

ステップ 6.2.1.3

$0.5092593$ を $4$ 乗します。

$f' (0.5092593) = 1.84964594 - 55 \cdot 0.06725984$

ステップ 6.2.1.4

$- 55$ に $0.06725984$ をかけます。

$f' (0.5092593) = 1.84964594 - 3.69929158$

ステップ 6.2.2

$1.84964594$ から $3.69929158$ を引きます。

$f' (0.5092593) = - 1.84964564$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 1.84964564$ です。

$- 1.84964564$

ステップ 6.3

$x = 0.5092593$ で微分係数は $- 1.84964564$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \frac{55}{54})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \frac{55}{54})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{55}{54}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.0185186$ で置換えます。

$f' (2.0185186) = 54 {(2.0185186)}^{5} - 55 {(2.0185186)}^{4}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$2.0185186$ を $5$ 乗します。

$f' (2.0185186) = 54 \cdot 33.50917829 - 55 {(2.0185186)}^{4}$

ステップ 7.2.1.2

$54$ に $33.50917829$ をかけます。

$f' (2.0185186) = 1809.49562774 - 55 {(2.0185186)}^{4}$

ステップ 7.2.1.3

$2.0185186$ を $4$ 乗します。

$f' (2.0185186) = 1809.49562774 - 55 \cdot 16.60087664$

ステップ 7.2.1.4

$- 55$ に $16.60087664$ をかけます。

$f' (2.0185186) = 1809.49562774 - 913.04821567$

ステップ 7.2.2

$1809.49562774$ から $913.04821567$ を引きます。

$f' (2.0185186) = 896.44741207$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $896.44741207$ です。

$896.44741207$

ステップ 7.3

$x = 2.0185186$ で微分係数は $896.44741207$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{55}{54}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{55}{54}, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(\frac{55}{54}, \infty)$ で増加

$(- \infty, 0), (0, \frac{55}{54})$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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