微分積分例

$lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x - 1)$

ステップ 1

両側極限を右側極限に変えます。

$lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) \ln (x - 1)$

ステップ 2

$(x - 1) \ln (x - 1)$ を $\frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

ステップ 3.1.2.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

ステップ 3.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

ステップ 3.1.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}} = lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

ステップ 3.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

ステップ 3.3.6

$\frac{1}{\ln (x - 1)}$ を $\ln^{- 1} (x - 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x - 1)]}$

ステップ 3.3.7

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = \ln (x - 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x - 1)$ とします。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

ステップ 3.3.7.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

ステップ 3.3.7.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x - 1)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

ステップ 3.3.8

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 1$ とします。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 1])}$

ステップ 3.3.8.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

ステップ 3.3.8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

ステップ 3.3.9

$\frac{1}{x - 1}$ と $\ln^{- 2} (x - 1)$ をまとめます。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{\ln^{- 2} (x - 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $\ln^{- 2} (x - 1)$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.3.11

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

ステップ 3.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

ステップ 3.3.13

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + 0)}$

ステップ 3.3.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \cdot 1}$

ステップ 3.3.15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}}$

ステップ 3.3.16

$- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{\ln^{2} (x - 1) (x - 1)}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1^{+}} 1 (- (\ln^{2} (x - 1) (x - 1)))$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) (x - 1))$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1) \cdot - 1)$

ステップ 3.7

$- 1$ を $\ln^{2} (x - 1)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - 1 \cdot \ln^{2} (x - 1))$

ステップ 3.8

$- 1 \ln^{2} (x - 1)$ を $- \ln^{2} (x - 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - \ln^{2} (x - 1))$

ステップ 3.9

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x) - - \ln^{2} (x - 1)$

ステップ 3.10

$- - \ln^{2} (x - 1)$ を掛けます。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + 1 \ln^{2} (x - 1)$

ステップ 3.10.2

$\ln^{2} (x - 1)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$

ステップ 3.11

$- \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1^{+}} - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が右から $1$ に近づくときの関数 $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1) \\ 1.1 & - 0.53018981 \\ 1.01 & - 0.21207592 \\ 1.001 & - 0.04771708 \\ 1.0001 & - 0.00848303 \\ 1.00001 & - 0.00132547 \\ 1.000001 & - 0.00019086 \\ 1.0000001 & - 0.00002597 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $1$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $1$ に近づくときの $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ の極限は $0$ です。

$0$

微分積分 例

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