微分積分例

$e^{x} \sin (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ です。

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

$e^{x}$ を $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ で因数分解します。

$e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

ステップ 2.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.5

$\cos (x) + \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\cos (x) + \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $\cos (x) + \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.4

分数を分解します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 2.5.2.6

$0$ を $1$ で割ります。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 2.5.2.7

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 + \tan (x) = 0$

ステップ 2.5.2.8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 2.5.2.9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 2.5.2.10

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.10.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.11

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 2.5.2.12

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.12.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 2.5.2.12.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.5.2.13

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.13.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.13.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.5.2.13.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.5.2.14

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.14.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 2.5.2.14.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.14.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.14.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.14.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.5.2.14.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.14.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 2.5.2.14.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 2.5.2.14.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.5.2.15

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $e^{x} \sin (x)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = \frac{3 π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{3 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$e^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.3

$e^{\frac{3 π}{4}}$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2

$x = \frac{7 π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{7 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$e^{\frac{7 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4.2.2.3

$e^{\frac{7 π}{4}}$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3

$x = \frac{11 π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{11 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{11 π}{4})$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.3.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$e^{\frac{11 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.2.4

$e^{\frac{11 π}{4}}$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.4

$x = \frac{15 π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{15 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{15 π}{4})$

ステップ 4.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 4.4.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 4.4.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4.4.2.4

$e^{\frac{15 π}{4}}$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.5

$x = \frac{19 π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$\frac{19 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{19 π}{4})$

ステップ 4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.5.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 4.5.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$e^{\frac{19 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.5.2.4

$e^{\frac{19 π}{4}}$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.6

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{3 π}{4}, \frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{11 π}{4}, \frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{15 π}{4}, - \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{19 π}{4}, \frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例