微分積分例

$\frac{1}{x}$

ステップ 1

$\frac{1}{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.1.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 2.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2

微分します。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.2.2.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$2 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.2.2.6.2

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$2 x^{- 3}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 2.2.3.2

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{x^{3}}$ です。

$\frac{2}{x^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 3.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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