微分積分例

$y = 2 x - \ln (2 x)$

ステップ 1

$y = 2 x - \ln (2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 x - \ln (2 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $2 x - \ln (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (2 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ です。

$2 - \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

ステップ 2.1.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$2 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 - (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 2.1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

ステップ 2.1.3.6

$\frac{1}{2 x}$ と $2$ をまとめます。

$2 - \frac{2}{2 x}$

ステップ 2.1.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.7.1

共通因数を約分します。

$2 - \frac{2}{2 x}$

ステップ 2.1.3.7.2

式を書き換えます。

$2 - \frac{1}{x}$

ステップ 2.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 2$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $- \frac{1}{x} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$x^{- 2} + 0$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 2.2.4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{1}{x^{2}}$ です。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 3.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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