微分積分例

$y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

ステップ 1

$y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{12}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{12} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

ステップ 2.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

ステップ 2.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{4}{12}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

ステップ 2.1.2.5

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

ステップ 2.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

ステップ 2.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

ステップ 2.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 (\frac{1}{2}) \cdot x$

ステップ 2.1.3.4

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2}{2} x$

ステップ 2.1.3.5

$\frac{- 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

ステップ 2.1.3.6

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

ステップ 2.1.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

ステップ 2.1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- x}{1}$

ステップ 2.1.3.6.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{3} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = x^{2} - \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{2} - 1$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{2} - 1$ です。

$x^{2} - 1$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1$ を $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot {(1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$\frac{1}{12}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

ステップ 4.1.2.2

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 4.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.1.2.3.2

$2$ に $6$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

ステップ 4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{1 - 6}{12}$

ステップ 4.1.2.5

$1$ から $6$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 5}{12}$

ステップ 4.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (1) = - \frac{5}{12}$

ステップ 4.1.2.7

最終的な答えは $- \frac{5}{12}$ です。

$- \frac{5}{12}$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, - \frac{5}{12})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, - \frac{5}{12})$

ステップ 4.3

$- 1$ を $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$\frac{1}{12}$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.3

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

ステップ 4.3.2.1.3.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2}))$

ステップ 4.3.2.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.2

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 4.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.3.2.3.2

$2$ に $6$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

ステップ 4.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{1 - 6}{12}$

ステップ 4.3.2.5

$1$ から $6$ を引きます。

$f (- 1) = \frac{- 5}{12}$

ステップ 4.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 1) = - \frac{5}{12}$

ステップ 4.3.2.7

最終的な答えは $- \frac{5}{12}$ です。

$- \frac{5}{12}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, - \frac{5}{12})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, - \frac{5}{12})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1, - \frac{5}{12}), (- 1, - \frac{5}{12})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = {(- 1.1)}^{2} - 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = 1.21 - 1$

ステップ 6.2.2

$1.21$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 1.1) = 0.21$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.21$ です。

$0.21$

ステップ 6.3

$- 1.1$ で二次導関数は $0.21$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 1, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 - 1$

ステップ 7.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (0) = - 1$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $- 1$ です。これは負の値なので、 $(- 1, 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 1, 1)$ で減少

ステップ 8

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = {(1.1)}^{2} - 1$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = 1.21 - 1$

ステップ 8.2.2

$1.21$ から $1$ を引きます。

$f'' (1.1) = 0.21$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.21$ です。

$0.21$

ステップ 8.3

$1.1$ で二次導関数は $0.21$ です。これは正の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$ .

$(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例