微分積分例

$f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

${(x + 5)}^{2}$ を $(x + 5) (x + 5)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x ((x + 5) (x + 5)))$

ステップ 1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (x + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x (x + 5) + 5 (x + 5)))$

ステップ 1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)))$

ステップ 1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

ステップ 1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

ステップ 1.1.3.1.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5))$

ステップ 1.1.3.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25))$

ステップ 1.1.3.2

$5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 10 x + 25))$

ステップ 1.1.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x (x^{2} + 10 x + 25)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 10 x + 25)]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 10 x + 25))$

ステップ 1.1.5

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 10 x + 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} (x^{2} + 10 x + 25) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

総和則では、 $x^{2} + 10 x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (2 x + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.6.3

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.6.5

$10$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.6.6

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.6.7

$2 x + 10$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.6.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1)$

ステップ 1.1.6.9

$x^{2} + 10 x + 25$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + x^{2} + 10 x + 25)$

ステップ 1.1.7

簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x (2 x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25)$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 3 (2 (x \cdot x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 3 (2 (x \cdot x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.5

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.6

$10$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (10 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.7

$10$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 30 x + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.8

$6 x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 9 x^{2} + 30 x + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.9

$10$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 9 x^{2} + 30 x + 30 x + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.10

$30 x$ と $30 x$ をたし算します。

$f' (x) = 9 x^{2} + 60 x + 3 \cdot 25$

ステップ 1.1.7.3.11

$3$ に $25$ をかけます。

$f' (x) = 9 x^{2} + 60 x + 75$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $9 x^{2} + 60 x + 75$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [75]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [60 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $60 x$ の微分係数は $60 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 18 x + 60 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (75)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 18 x + 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (75)$

ステップ 1.2.3.3

$60$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 18 x + 60 + \frac{d}{d x} (75)$

ステップ 1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.4.1

$75$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $75$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 18 x + 60 + 0$

ステップ 1.2.4.2

$18 x + 60$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 18 x + 60$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $18 x + 60$ です。

$18 x + 60$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $18 x + 60 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$18 x + 60 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $60$ を引きます。

$18 x = - 60$

ステップ 2.3

$18 x = - 60$ の各項を $18$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$18 x = - 60$ の各項を $18$ で割ります。

$\frac{18 x}{18} = \frac{- 60}{18}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{18 x}{18} = \frac{- 60}{18}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 60}{18}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$- 60$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$6$ を $- 60$ で因数分解します。

$x = \frac{6 (- 10)}{18}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.2.1

$6$ を $18$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \cdot - 10}{6 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{6 \cdot - 10}{6 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 10}{3}$

ステップ 2.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{10}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$- \frac{10}{3}$ を $f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- \frac{10}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (- \frac{10}{3}) {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- \frac{10}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (\frac{- 10}{3}) \cdot {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (\frac{- 10}{3}) \cdot {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

ステップ 3.1.2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(- \frac{10}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2.3

$5$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(- \frac{10}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{- 10 + 5 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.2.5.1

$5$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{- 10 + 15}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2.5.2

$- 10$ と $15$ をたし算します。

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{5}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2.6

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 \frac{5^{2}}{3^{2}}$

ステップ 3.1.2.7

$5$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 \frac{25}{3^{2}}$

ステップ 3.1.2.8

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 (\frac{25}{9})$

ステップ 3.1.2.9

$- 10 (\frac{25}{9})$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.9.1

$- 10$ と $\frac{25}{9}$ をまとめます。

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 10 \cdot 25}{9}$

ステップ 3.1.2.9.2

$- 10$ に $25$ をかけます。

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 250}{9}$

ステップ 3.1.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{250}{9}$

ステップ 3.1.2.11

最終的な答えは $- \frac{250}{9}$ です。

$- \frac{250}{9}$

ステップ 3.2

$f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$ で代入して $- \frac{10}{3}$ 求めた点は、 $(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (- \frac{10}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{10}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3.4\overline{3}$ で置換えます。

$f'' (- 3.4\overline{3}) = 18 (- 3.4\overline{3}) + 60$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$18$ に $- 3.4\overline{3}$ をかけます。

$f'' (- 3.4\overline{3}) = - 61.8 + 60$

ステップ 5.2.2

$- 61.8$ と $60$ をたし算します。

$f'' (- 3.4\overline{3}) = - 1.8$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 1.8$ です。

$- 1.8$

ステップ 5.3

$- 3.4\overline{3}$ で二次導関数は $- 1.8$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \frac{10}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{10}{3})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- \frac{10}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3.2\overline{3}$ で置換えます。

$f'' (- 3.2\overline{3}) = 18 (- 3.2\overline{3}) + 60$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$18$ に $- 3.2\overline{3}$ をかけます。

$f'' (- 3.2\overline{3}) = - 58.2 + 60$

ステップ 6.2.2

$- 58.2$ と $60$ をたし算します。

$f'' (- 3.2\overline{3}) = 1.7\overline{9}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $1.7\overline{9}$ です。

$1.7\overline{9}$

ステップ 6.3

$- 3.2\overline{3}$ で二次導関数は $1.7\overline{9}$ です。これは正の値なので、 $(- \frac{10}{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \frac{10}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$ です。

$(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例