微分積分例

$x = 2 \sqrt{3 y}$ , $x = 0$ , $y = 9$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = 9$ および $g (x) = \frac{x^{2}}{12}$ ならば $V = π \int_{0}^{10.39230484} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

$9$ を $2$ 乗します。

$V = 81 - {(\frac{x^{2}}{12})}^{2}$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{x^{2}}{12}$ に当てはめます。

$V = 81 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{12^{2}}$

ステップ 2.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 81 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{12^{2}}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$V = 81 - \frac{x^{4}}{12^{2}}$

ステップ 2.4

$12$ を $2$ 乗します。

$V = 81 - \frac{x^{4}}{144}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{10.39230484} 81 d x + \int_{0}^{10.39230484} - \frac{x^{4}}{144} d x)$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$V = π (81 x]_{0}^{10.39230484} + \int_{0}^{10.39230484} - \frac{x^{4}}{144} d x)$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$V = π (81 x]_{0}^{10.39230484} - \int_{0}^{10.39230484} \frac{x^{4}}{144} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{144}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{144}$ を積分の外に移動させます。

$V = π (81 x]_{0}^{10.39230484} - (\frac{1}{144} \cdot \int_{0}^{10.39230484} x^{4} d x))$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = π (81 x]_{0}^{10.39230484} - \frac{1}{144} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{10.39230484})$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$V = π (81 x]_{0}^{10.39230484} - \frac{1}{144} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10.39230484})$

ステップ 8.1.2

$\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10.39230484}$ と $\frac{1}{144}$ をまとめます。

$V = π (81 x]_{0}^{10.39230484} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10.39230484}}{144})$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

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ステップ 8.2.1

$10.39230484$ および $0$ で $81 x$ の値を求めます。

$V = π ((81 \cdot 10.39230484) - 81 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10.39230484}}{144})$

ステップ 8.2.2

$10.39230484$ および $0$ で $\frac{x^{5}}{5}$ の値を求めます。

$V = π ((81 \cdot 10.39230484) - 81 \cdot 0 - \frac{(\frac{{10.39230484}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

ステップ 8.2.3

簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$81$ に $10.39230484$ をかけます。

$V = π (841.77669247 - 81 \cdot 0 - \frac{(\frac{{10.39230484}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

ステップ 8.2.3.2

$- 81$ に $0$ をかけます。

$V = π (841.77669247 + 0 - \frac{(\frac{{10.39230484}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

ステップ 8.2.3.3

$841.77669247$ と $0$ をたし算します。

$V = π (841.77669247 - \frac{(\frac{{10.39230484}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

ステップ 8.2.3.4

$10.39230484$ を $5$ 乗します。

$V = π (841.77669247 - \frac{\frac{121215.8437169}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

ステップ 8.2.3.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (841.77669247 - \frac{\frac{121215.8437169}{5} - \frac{0}{5}}{144})$

ステップ 8.2.3.6

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.6.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (841.77669247 - \frac{\frac{121215.8437169}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{144})$

ステップ 8.2.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.6.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$V = π (841.77669247 - \frac{\frac{121215.8437169}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{144})$

ステップ 8.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (841.77669247 - \frac{\frac{121215.8437169}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{144})$

ステップ 8.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$V = π (841.77669247 - \frac{\frac{121215.8437169}{5} - \frac{0}{1}}{144})$

ステップ 8.2.3.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (841.77669247 - \frac{\frac{121215.8437169}{5} - 0}{144})$

ステップ 8.2.3.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (841.77669247 - \frac{\frac{121215.8437169}{5} + 0}{144})$

ステップ 8.2.3.8

$\frac{121215.8437169}{5}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (841.77669247 - \frac{\frac{121215.8437169}{5}}{144})$

ステップ 8.2.3.9

$\frac{\frac{121215.8437169}{5}}{144}$ を積として書き換えます。

$V = π (841.77669247 - (\frac{121215.8437169}{5} \cdot \frac{1}{144}))$

ステップ 8.2.3.10

$\frac{121215.8437169}{5}$ に $\frac{1}{144}$ をかけます。

$V = π (841.77669247 - \frac{121215.8437169}{5 \cdot 144})$

ステップ 8.2.3.11

$5$ に $144$ をかけます。

$V = π (841.77669247 - \frac{121215.8437169}{720})$

ステップ 8.2.3.12

$841.77669247$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{720}{720}$ を掛けます。

$V = π (841.77669247 \cdot \frac{720}{720} - \frac{121215.8437169}{720})$

ステップ 8.2.3.13

$841.77669247$ と $\frac{720}{720}$ をまとめます。

$V = π (\frac{841.77669247 \cdot 720}{720} - \frac{121215.8437169}{720})$

ステップ 8.2.3.14

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{841.77669247 \cdot 720 - 121215.8437169}{720})$

ステップ 8.2.3.15

$841.77669247$ に $720$ をかけます。

$V = π (\frac{606079.2185845 - 121215.8437169}{720})$

ステップ 8.2.3.16

$606079.2185845$ から $121215.8437169$ を引きます。

$V = π (\frac{484863.3748676}{720})$

ステップ 8.2.3.17

$π$ と $\frac{484863.3748676}{720}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 484863.3748676}{720}$

ステップ 8.2.3.18

$π$ に $484863.3748676$ をかけます。

$V = \frac{1523243.2164788}{720}$

ステップ 9

$1523243.2164788$ を $720$ で割ります。

$V = 2115.61557844$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例