微分積分例

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (y)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (y) = - y^{2} + 14 y$ および $g (y) = y^{2}$ ならば $V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ を $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ に書き換えます。

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.2.1

$y^{2}$ を移動させます。

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.4

$y^{4}$ に $1$ をかけます。

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.6

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.6.1

$y$ を移動させます。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.6.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.6.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.7

$- 1$ に $14$ をかけます。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.9

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.9.1

$y^{2}$ を移動させます。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.9.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.9.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.10

$14$ に $- 1$ をかけます。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.12

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.12.1

$y$ を移動させます。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.12.2

$y$ に $y$ をかけます。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.1.13

$14$ に $14$ をかけます。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.3.2

$- 14 y^{3}$ から $14 y^{3}$ を引きます。

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.4

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

ステップ 2.2

$y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$y^{4}$ から $y^{4}$ を引きます。

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

ステップ 2.2.2

$- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

ステップ 4

$- 28$ は $y$ に対して定数なので、 $- 28$ を積分の外に移動させます。

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

ステップ 5

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ と $y^{4}$ をまとめます。

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

ステップ 7

$196$ は $y$ に対して定数なので、 $196$ を積分の外に移動させます。

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

ステップ 8

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

ステップ 9.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$7$ および $0$ で $\frac{y^{4}}{4}$ の値を求めます。

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

ステップ 9.2.2

$7$ および $0$ で $\frac{y^{3}}{3}$ の値を求めます。

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$7$ を $4$ 乗します。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.3

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.3.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.5

$\frac{2401}{4}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.6

$- 28$ と $\frac{2401}{4}$ をまとめます。

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.7

$- 28$ に $2401$ をかけます。

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.8

$- 67228$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.8.1

$4$ を $- 67228$ で因数分解します。

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.8.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.8.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.8.2.4

$- 16807$ を $1$ で割ります。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.9

$7$ を $3$ 乗します。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 9.2.3.10

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

ステップ 9.2.3.11

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.11.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

ステップ 9.2.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.11.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 9.2.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 9.2.3.11.2.3

式を書き換えます。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

ステップ 9.2.3.11.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

ステップ 9.2.3.12

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

ステップ 9.2.3.13

$\frac{343}{3}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

ステップ 9.2.3.14

$196$ と $\frac{343}{3}$ をまとめます。

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

ステップ 9.2.3.15

$196$ に $343$ をかけます。

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

ステップ 9.2.3.16

$- 16807$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

ステップ 9.2.3.17

$- 16807$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

ステップ 9.2.3.18

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

ステップ 9.2.3.19

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.19.1

$- 16807$ に $3$ をかけます。

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

ステップ 9.2.3.19.2

$- 50421$ と $67228$ をたし算します。

$V = π (\frac{16807}{3})$

ステップ 9.2.3.20

$π$ と $\frac{16807}{3}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

ステップ 9.2.3.21

$16807$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{16807 π}{3}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{16807 π}{3}$

10進法形式：

$V = 17600.24924296 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例