微分積分例

$x^{8} \ln (x)$

ステップ 1

$x^{8} \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{8} \ln (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = x^{8} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x^{8}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{8}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 2.1.3.2

$x^{8}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

$x$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 2.1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 2.1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 2.1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x^{7}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 2.1.3.2.2.5

$x^{7}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{7} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 2.1.3.3

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{7} + \ln (x) (8 x^{7})$

ステップ 2.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} \ln (x))$

ステップ 2.2.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 7 x^{6} + \frac{d}{d x} (8 x^{7} \ln (x))$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{7} \ln (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 \frac{d}{d x} (x^{7} \ln (x))$

ステップ 2.2.2.2

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7}))$

ステップ 2.2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (x^{7} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{7}))$

ステップ 2.2.2.4

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (x^{7} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (7 x^{6}))$

ステップ 2.2.2.5

$x^{7}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

ステップ 2.2.2.6

$x^{7}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

$x$ を $x^{7}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

ステップ 2.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

ステップ 2.2.2.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

ステップ 2.2.2.6.2.3

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

ステップ 2.2.2.6.2.4

式を書き換えます。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

ステップ 2.2.2.6.2.5

$x^{6}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}))$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 x^{6} + 8 (\ln (x) (7 x^{6}))$

ステップ 2.2.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$7$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 7 x^{6} + 8 x^{6} + 56 (\ln (x) (x^{6}))$

ステップ 2.2.3.2.2

$7 x^{6}$ と $8 x^{6}$ をたし算します。

$f'' (x) = 15 x^{6} + 56 \ln (x) x^{6}$

ステップ 2.2.3.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$ です。

$15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $15 x^{6}$ を引きます。

$56 x^{6} \ln (x) = - 15 x^{6}$

ステップ 3.3

$56 x^{6} \ln (x) = - 15 x^{6}$ の各項を $56 x^{6}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$56 x^{6} \ln (x) = - 15 x^{6}$ の各項を $56 x^{6}$ で割ります。

$\frac{56 x^{6} \ln (x)}{56 x^{6}} = \frac{- 15 x^{6}}{56 x^{6}}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$56$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{56 x^{6} \ln (x)}{56 x^{6}} = \frac{- 15 x^{6}}{56 x^{6}}$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{6} \ln (x)}{x^{6}} = \frac{- 15 x^{6}}{56 x^{6}}$

ステップ 3.3.2.2

$x^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{6} \ln (x)}{x^{6}} = \frac{- 15 x^{6}}{56 x^{6}}$

ステップ 3.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 15 x^{6}}{56 x^{6}}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{- 15 x^{6}}{56 x^{6}}$

ステップ 3.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (x) = \frac{- 15}{56}$

ステップ 3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{15}{56}$

ステップ 3.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{15}{56}}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{15}{56}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{15}{56}} = x$

ステップ 3.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式を $x = e^{- \frac{15}{56}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{15}{56}}$

ステップ 3.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}$ を $f (x) = x^{8} \ln (x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})}^{8} \ln (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

積の法則を $\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1^{8}}{{(e^{\frac{15}{56}})}^{8}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$

ステップ 4.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{15}{56}})}^{8}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$

ステップ 4.1.2.3

${(e^{\frac{15}{56}})}^{8}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1}{e^{\frac{15}{56} \cdot 8}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$

ステップ 4.1.2.3.2

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

$8$ を $56$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1}{e^{\frac{15}{8 (7)} \cdot 8}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$

ステップ 4.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1}{e^{\frac{15}{8 \cdot 7} \cdot 8}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$

ステップ 4.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1}{e^{\frac{15}{7}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$

ステップ 4.1.2.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{15}{56}}$ を分子に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1}{e^{\frac{15}{7}}} \cdot \ln (e^{- \frac{15}{56}})$

ステップ 4.1.2.5

$- \frac{15}{56}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{15}{56}})$ を展開します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1}{e^{\frac{15}{7}}} \cdot (- \frac{15}{56} \cdot \ln (e))$

ステップ 4.1.2.6

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1}{e^{\frac{15}{7}}} \cdot (- \frac{15}{56} \cdot 1)$

ステップ 4.1.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = \frac{1}{e^{\frac{15}{7}}} \cdot (- \frac{15}{56})$

ステップ 4.1.2.8

$\frac{1}{e^{\frac{15}{7}}}$ に $\frac{15}{56}$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = - \frac{15}{e^{\frac{15}{7}} \cdot 56}$

ステップ 4.1.2.9

$56$ を $e^{\frac{15}{7}}$ の左に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) = - \frac{15}{56 e^{\frac{15}{7}}}$

ステップ 4.1.2.10

最終的な答えは $- \frac{15}{56 e^{\frac{15}{7}}}$ です。

$- \frac{15}{56 e^{\frac{15}{7}}}$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{8} \ln (x)$ で代入して $\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}$ 求めた点は、 $(\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}, - \frac{15}{56 e^{\frac{15}{7}}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}, - \frac{15}{56 e^{\frac{15}{7}}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.66501706$ で置換えます。

$f'' (0.66501706) = 15 {(0.66501706)}^{6} + 56 {(0.66501706)}^{6} \ln (0.66501706)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.66501706$ を $6$ 乗します。

$f'' (0.66501706) = 15 \cdot 0.08649613 + 56 {(0.66501706)}^{6} \ln (0.66501706)$

ステップ 6.2.1.2

$15$ に $0.08649613$ をかけます。

$f'' (0.66501706) = 1.29744209 + 56 {(0.66501706)}^{6} \ln (0.66501706)$

ステップ 6.2.1.3

$0.66501706$ を $6$ 乗します。

$f'' (0.66501706) = 1.29744209 + 56 \cdot (0.08649613 \ln (0.66501706))$

ステップ 6.2.1.4

$56$ に $0.08649613$ をかけます。

$f'' (0.66501706) = 1.29744209 + 4.84378382 \ln (0.66501706)$

ステップ 6.2.1.5

対数の中の $4.84378382$ を移動させて $4.84378382 \ln (0.66501706)$ を簡約します。

$f'' (0.66501706) = 1.29744209 + \ln ({0.66501706}^{4.84378382})$

ステップ 6.2.1.6

$0.66501706$ を $4.84378382$ 乗します。

$f'' (0.66501706) = 1.29744209 + \ln (0.1386246)$

ステップ 6.2.2

$1.29744209$ と $\ln (0.1386246)$ をたし算します。

$f'' (0.66501706) = - 0.67854358$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.67854358$ です。

$- 0.67854358$

ステップ 6.3

$0.66501706$ で二次導関数は $- 0.67854358$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{15}{56}}})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.86501706$ で置換えます。

$f'' (0.86501706) = 15 {(0.86501706)}^{6} + 56 {(0.86501706)}^{6} \ln (0.86501706)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.86501706$ を $6$ 乗します。

$f'' (0.86501706) = 15 \cdot 0.41893634 + 56 {(0.86501706)}^{6} \ln (0.86501706)$

ステップ 7.2.1.2

$15$ に $0.41893634$ をかけます。

$f'' (0.86501706) = 6.28404519 + 56 {(0.86501706)}^{6} \ln (0.86501706)$

ステップ 7.2.1.3

$0.86501706$ を $6$ 乗します。

$f'' (0.86501706) = 6.28404519 + 56 \cdot (0.41893634 \ln (0.86501706))$

ステップ 7.2.1.4

$56$ に $0.41893634$ をかけます。

$f'' (0.86501706) = 6.28404519 + 23.4604354 \ln (0.86501706)$

ステップ 7.2.1.5

対数の中の $23.4604354$ を移動させて $23.4604354 \ln (0.86501706)$ を簡約します。

$f'' (0.86501706) = 6.28404519 + \ln ({0.86501706}^{23.4604354})$

ステップ 7.2.1.6

$0.86501706$ を $23.4604354$ 乗します。

$f'' (0.86501706) = 6.28404519 + \ln (0.03330975)$

ステップ 7.2.2

$6.28404519$ と $\ln (0.03330975)$ をたし算します。

$f'' (0.86501706) = 2.88214017$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $2.88214017$ です。

$2.88214017$

ステップ 7.3

$0.86501706$ で二次導関数は $2.88214017$ です。これは正の値なので、 $(\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}, - \frac{15}{56 e^{\frac{15}{7}}})$ です。

$(\frac{1}{e^{\frac{15}{56}}}, - \frac{15}{56 e^{\frac{15}{7}}})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例