微分積分例

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.2.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 u^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.2.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.2.6

$5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.3.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ です。

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

ステップ 2.2

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

二項定理を利用します。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.2.5

$4$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.2.1.4.1

$4$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.4.2

$6$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.4.3

$4$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.4.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

ステップ 2.2.2

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.2.1

$5$ から $5$ を引きます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

ステップ 2.2.2.2

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

ステップ 2.3

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = - 2, 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${((- 2) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

${(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$- 1 - 5 \cdot - 2 - 2$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$- 1 + 10 - 2$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- 1$ と $10$ をたし算します。

$9 - 2$

ステップ 4.1.2.2.2

$9$ から $2$ を引きます。

$7$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

${((0) + 1)}^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$1^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

ステップ 4.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 5 \cdot 0 - 2$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 5$ に $0$ をかけます。

$1 + 0 - 2$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - 2$

ステップ 4.2.2.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, 7), (0, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

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