微分積分例

$e^{2 x} + e^{- x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $e^{2 x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.1.2.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 1.1.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 1.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 e^{2 x} - e^{- x}$ です。

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

ステップ 2.2

両辺に $- e^{- x}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

ステップ 2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

ステップ 2.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\ln (2 e^{2 x})$ を $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ に書き換えます。

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

ステップ 2.4.2

$2 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 x})$ を展開します。

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

ステップ 2.4.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

ステップ 2.4.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

ステップ 2.5

右辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- x})$ を展開します。

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

ステップ 2.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

ステップ 2.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (2) + 2 x = - x$

ステップ 2.6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

ステップ 2.6.2

$2 x$ と $x$ をたし算します。

$\ln (2) + 3 x = 0$

ステップ 2.7

方程式の両辺から $\ln (2)$ を引きます。

$3 x = - \ln (2)$

ステップ 2.8

$3 x = - \ln (2)$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$3 x = - \ln (2)$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

ステップ 2.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

ステップ 2.8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

ステップ 2.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $e^{2 x} + e^{- x}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- \frac{\ln (2)}{3}$ を $x$ に代入します。

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{\ln (2)}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (2)$ に書き換えます。

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (2)$ を簡約します。

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.3

$2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.3.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ を簡約します。

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.4

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ を簡約します。

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.6

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.7

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.7.2

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.7.3

分数の前に負数を移動させます。

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

ステップ 4.1.2.9

$\frac{\ln (2)}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (2)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

ステップ 4.1.2.10

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (2)$ を簡約します。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 4.1.2.11

$- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 4.1.2.11.2

$\ln (2^{\frac{1}{3}})$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 4.1.2.12

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例