微分積分例

$P = \frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}})$

ステップ 2

$t$ に関する $P$ の微分係数は $P'$ です。

$P'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

分数をまとめます。

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ステップ 3.1.1

$t$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}$ を ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}]$

ステップ 3.2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = 1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ で置き換えます。

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ です。

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

ステップ 3.3.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ をたし算します。

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$

ステップ 3.3.4

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 e^{- \frac{t}{10}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$ です。

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}])$

ステップ 3.3.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$

ステップ 3.4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - \frac{t}{10}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- \frac{t}{10}$ とします。

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

ステップ 3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- \frac{t}{10}$ で置き換えます。

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

ステップ 3.5

微分します。

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ステップ 3.5.1

$- \frac{1}{10}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{t}{10}$ の微分係数は $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 3.5.2

項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$e^{- \frac{t}{10}}$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (- \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.5.2.2

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.5.2.3

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.2.4

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10}$ と ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ をまとめます。

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.2.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.2.5.1

$5$ を $e^{- \frac{t}{10}}$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot e^{- \frac{t}{10}} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.2.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.2.6

$5$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.6.1

$5$ を $5 e^{- \frac{t}{10}}$ で因数分解します。

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.6.2.1

$5$ を $10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \cdot 1$

ステップ 3.5.4

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$P' = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

ステップ 5

$P'$ を $\frac{d P}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d P}{d t} = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

微分積分 例

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