微分積分例

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos^{3} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ です。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 1.1.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 1.1.3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

ステップ 1.1.3.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

項を並べ替えます。

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.1.4.2

$3 \sin (x)$ を $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$3 \sin (x)$ を $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.1.4.2.2

$3 \sin (x)$ を $- 3 \sin (x)$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

ステップ 1.1.4.2.3

$3 \sin (x)$ を $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

ステップ 1.1.4.3

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

ステップ 1.1.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

ステップ 1.1.4.5

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

ステップ 1.1.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

ステップ 1.1.4.7

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

ステップ 1.1.4.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

ステップ 1.1.4.9

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.9.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

ステップ 1.1.4.9.2

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 1.1.4.9.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

ステップ 1.1.4.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

ステップ 1.1.4.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

ステップ 1.1.4.10

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 \sin^{3} (x)$ です。

$- 3 \sin^{3} (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

ステップ 2.2

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 2.2.2.1.2

$\sin^{3} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $- 3$ で割ります。

$\sin^{3} (x) = 0$

ステップ 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.4

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.4.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = 0$

ステップ 2.5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 2.6

右辺を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.7

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 2.8

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.9

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.9.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.9.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.9.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.10

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.11

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $π n$ です。

$π n$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ です。

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, π n)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $π n - 1$ で置換えます。

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

ステップ 5.2

最終的な答えは $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ です。

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

ステップ 5.3

簡約します。

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

ステップ 5.4

$x = π n - 1$ で微分係数は $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, π n)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, π n)$ で減少

ステップ 6

区間 $(π n, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $π n + 1$ で置換えます。

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

ステップ 6.2

最終的な答えは $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ です。

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

ステップ 6.3

簡約します。

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

ステップ 6.4

$x = π n + 1$ で微分係数は $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ です。これは負の値なので、関数は $(π n, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(π n, \infty)$ で減少

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, π n), (π n, \infty)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

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