微分積分例

$f (x) = 25 - 15 x^{2} + 5 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $25 - 15 x^{2} + 5 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x^{3})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{2}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 0 - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{3})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 15$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 30 x + \frac{d}{d x} (5 x^{3})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 0 - 30 x + 5 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 30 x + 5 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 30 x + 15 x^{2}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$0$ から $30 x$ を引きます。

$f' (x) = - 30 x + 15 x^{2}$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = 15 x^{2} - 30 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $15 x^{2} - 30 x$ です。

$15 x^{2} - 30 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $15 x^{2} - 30 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$15 x^{2} - 30 x = 0$

ステップ 2.2

$15 x$ を $15 x^{2} - 30 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$15 x$ を $15 x^{2}$ で因数分解します。

$15 x (x) - 30 x = 0$

ステップ 2.2.2

$15 x$ を $- 30 x$ で因数分解します。

$15 x (x) + 15 x (- 2) = 0$

ステップ 2.2.3

$15 x$ を $15 x (x) + 15 x (- 2)$ で因数分解します。

$15 x (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $15 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 2$ です。

$0, 2$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 15 {(- 1)}^{2} - 30 \cdot - 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = 15 \cdot 1 - 30 \cdot - 1$

ステップ 5.2.1.2

$15$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 15 - 30 \cdot - 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 30$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = 15 + 30$

ステップ 5.2.2

$15$ と $30$ をたし算します。

$f' (- 1) = 45$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $45$ です。

$45$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $45$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 15 {(1)}^{2} - 30 \cdot 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 30 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.2

$15$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 15 - 30 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.3

$- 30$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 15 - 30$

ステップ 6.2.2

$15$ から $30$ を引きます。

$f' (1) = - 15$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 15$ です。

$- 15$

ステップ 6.3

$x = 1$ で微分係数は $- 15$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 2)$ で減少

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 15 {(3)}^{2} - 30 \cdot 3$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = 15 \cdot 9 - 30 \cdot 3$

ステップ 7.2.1.2

$15$ に $9$ をかけます。

$f' (3) = 135 - 30 \cdot 3$

ステップ 7.2.1.3

$- 30$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = 135 - 90$

ステップ 7.2.2

$135$ から $90$ を引きます。

$f' (3) = 45$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $45$ です。

$45$

ステップ 7.3

$x = 3$ で微分係数は $45$ です。これは正の値なので、関数は $(2, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0), (2, \infty)$ で増加

$(0, 2)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例