微分積分例

$c (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

ステップ 1

$t$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

ステップ 2

$3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

書き換えます。

$0 + 0 + 3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

ステップ 2.2

0を加えて簡約します。

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

ステップ 2.3

$t$ と $\frac{1}{30}$ をまとめます。

$3 t e^{- \frac{t}{30}} = c t$

ステップ 3

方程式の両辺から $c t$ を引きます。

$3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t = 0$

ステップ 4

$t$ を $3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t$ で因数分解します。

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ステップ 4.1

$t$ を $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ で因数分解します。

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) - c t = 0$

ステップ 4.2

$t$ を $- c t$ で因数分解します。

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c) = 0$

ステップ 4.3

$t$ を $t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c)$ で因数分解します。

$t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t = 0$

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

ステップ 6

$t$ が $0$ に等しいとします。

$t = 0$

ステップ 7

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 7.1

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ が $0$ に等しいとします。

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

ステップ 7.2

$t$ について $3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $c$ を足します。

$3 e^{- \frac{t}{30}} = c$

ステップ 7.2.2

$3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$e^{- \frac{t}{30}}$ を $1$ で割ります。

$e^{- \frac{t}{30}} = \frac{c}{3}$

ステップ 7.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.4

左辺を展開します。

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ステップ 7.2.4.1

$- \frac{t}{30}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{t}{30}})$ を展開します。

$- \frac{t}{30} \ln (e) = \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- \frac{t}{30} \cdot 1 = \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t}{30} = \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.5

方程式の両辺に $- 30$ を掛けます。

$- 30 (- \frac{t}{30}) = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.6

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.6.1

$- 30 (- \frac{t}{30})$ を簡約します。

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ステップ 7.2.6.1.1

$30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.6.1.1.1

$- \frac{t}{30}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 30 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.6.1.1.2

$30$ を $- 30$ で因数分解します。

$30 (- 1) \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.6.1.1.3

共通因数を約分します。

$30 \cdot - 1 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.6.1.1.4

式を書き換えます。

$- - t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.6.1.2

掛け算します。

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ステップ 7.2.6.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 7.2.6.1.2.2

$t$ に $1$ をかけます。

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

ステップ 8

最終解は $t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = 0$

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

微分積分 例

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