微分積分例

$f (x) = x \ln (x)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

総和則では、 $1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$0 + \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.2.3

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 1.2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = x \ln (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 2.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

最終的な答えは $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例