微分積分例

$f (x) = x^{4} e^{x}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 1.1.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

ステップ 1.1.4.2

$e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

ステップ 1.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

ステップ 1.2.2.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3} e^{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ です。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

ステップ 1.2.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

ステップ 1.2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

ステップ 1.2.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

ステップ 1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

ステップ 1.2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

ステップ 1.2.4.2.2

$e^{x} (4 x^{3})$ と $4 x^{3} e^{x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

$4 x^{3} e^{x}$ と $4 x^{3} e^{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

ステップ 1.2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

ステップ 1.2.4.4

$e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ です。

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{2} e^{x}$ を $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$x^{2} e^{x}$ を $x^{4} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$x^{2} e^{x}$ を $8 x^{3} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

ステップ 2.2.1.3

$x^{2} e^{x}$ を $12 x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$x^{2} e^{x}$ を $x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ で因数分解します。

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$x^{2} e^{x}$ を $x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ で因数分解します。

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 8 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $8$ です。

$2, 6$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.5.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.7

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 2.8

最終解は $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, - 6$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = x^{4} e^{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} e^{0}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 e^{0}$

ステップ 3.1.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = 0 \cdot 1$

ステップ 3.1.2.3

$0$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{4} e^{x}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$- 2$ を $f (x) = x^{4} e^{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = 16 e^{- 2}$

ステップ 3.3.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}})$

ステップ 3.3.2.3

$16$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$f (- 2) = \frac{16}{e^{2}}$

ステップ 3.3.2.4

最終的な答えは $\frac{16}{e^{2}}$ です。

$\frac{16}{e^{2}}$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{4} e^{x}$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, \frac{16}{e^{2}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, \frac{16}{e^{2}})$

ステップ 3.5

$- 6$ を $f (x) = x^{4} e^{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6}$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$- 6$ を $4$ 乗します。

$f (- 6) = 1296 e^{- 6}$

ステップ 3.5.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}})$

ステップ 3.5.2.3

$1296$ と $\frac{1}{e^{6}}$ をまとめます。

$f (- 6) = \frac{1296}{e^{6}}$

ステップ 3.5.2.4

最終的な答えは $\frac{1296}{e^{6}}$ です。

$\frac{1296}{e^{6}}$

ステップ 3.6

$f (x) = x^{4} e^{x}$ で代入して $- 6$ 求めた点は、 $(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

ステップ 3.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{e^{2}}), (- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 6)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 6.1$ で置換えます。

$f'' (- 6.1) = {(- 6.1)}^{4} e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 6.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 (\frac{1}{e^{6.1}}) + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.3

$1384.5841$ と $\frac{1}{e^{6.1}}$ をまとめます。

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{e^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.4

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{{2.71828182}^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.5

$2.71828182$ を $6.1$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{445.85777008} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.6

$1384.5841$ を $445.85777008$ で割ります。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.7

$- 6.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 \cdot (- 226.981 e^{- 6.1}) + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.8

$8$ に $- 226.981$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 \frac{1}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.10

$- 1815.848$ と $\frac{1}{e^{6.1}}$ をまとめます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + \frac{- 1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.12

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{{2.71828182}^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.13

$2.71828182$ を $6.1$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{445.85777008} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.14

$1815.848$ を $445.85777008$ で割ります。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1 \cdot 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.15

$- 1$ に $4.07270686$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.16

$- 6.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 \cdot (37.21 e^{- 6.1})$

ステップ 5.2.1.17

$12$ に $37.21$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 e^{- 6.1}$

ステップ 5.2.1.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 (\frac{1}{e^{6.1}})$

ステップ 5.2.1.19

$446.52$ と $\frac{1}{e^{6.1}}$ をまとめます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{e^{6.1}}$

ステップ 5.2.1.20

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{{2.71828182}^{6.1}}$

ステップ 5.2.1.21

$2.71828182$ を $6.1$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{445.85777008}$

ステップ 5.2.1.22

$446.52$ を $445.85777008$ で割ります。

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 1.00148529$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3.10543898$ から $4.07270686$ を引きます。

$f'' (- 6.1) = - 0.96726787 + 1.00148529$

ステップ 5.2.2.2

$- 0.96726787$ と $1.00148529$ をたし算します。

$f'' (- 6.1) = 0.03421741$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $0.03421741$ です。

$0.03421741$

ステップ 5.3

$- 6.1$ で二次導関数は $0.03421741$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 6)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 6)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 6, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

ステップ 6.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

ステップ 6.2.1.3

$256$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

ステップ 6.2.1.4

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

ステップ 6.2.1.5

$8$ に $- 64$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

ステップ 6.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

ステップ 6.2.1.7

$- 512$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

ステップ 6.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

ステップ 6.2.1.9

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

ステップ 6.2.1.10

$12$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

ステップ 6.2.1.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

ステップ 6.2.1.12

$192$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

ステップ 6.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

ステップ 6.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$256$ から $512$ を引きます。

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

ステップ 6.2.2.2.2

$- 256$ と $192$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

ステップ 6.2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{64}{e^{4}}$ です。

$- \frac{64}{e^{4}}$

ステップ 6.3

$- 4$ で二次導関数は $- 1.17220088$ です。これは負の値なので、 $(- 6, - 2)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 6, - 2)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 2, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.2

$e^{- 1}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.5

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.7

$- 8$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.9

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

ステップ 7.2.1.10

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

ステップ 7.2.1.12

$12$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

ステップ 7.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

ステップ 7.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$1$ から $8$ を引きます。

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

ステップ 7.2.2.2.2

$- 7$ と $12$ をたし算します。

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{5}{e}$ です。

$\frac{5}{e}$

ステップ 7.3

$- 1$ で二次導関数は $1.8393972$ です。これは正の値なので、 $(- 2, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 2, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = {(0.1)}^{4} e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.1) = 0.0001 e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

ステップ 8.2.1.2

$0.0001$ に $e^{0.1}$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

ステップ 8.2.1.3

$0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 \cdot (0.001 e^{0.1}) + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

ステップ 8.2.1.4

$8$ に $0.001$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.008 e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

ステップ 8.2.1.5

$0.008$ に $e^{0.1}$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

ステップ 8.2.1.6

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 \cdot (0.01 e^{0.1})$

ステップ 8.2.1.7

$12$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.12 e^{0.1}$

ステップ 8.2.1.8

$0.12$ に $e^{0.1}$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.13262051$

ステップ 8.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$0.00011051$ と $0.00884136$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 0.00895188 + 0.13262051$

ステップ 8.2.2.2

$0.00895188$ と $0.13262051$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 0.14157239$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.14157239$ です。

$0.14157239$

ステップ 8.3

$0.1$ で二次導関数は $0.14157239$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$ .

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例