微分積分例

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

ステップ 1

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 243$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$2$ を $x^{2} + 243$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 243) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 243$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$243$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $243$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.2

$2$ に $243$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.2

$2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.2.2

$486 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$486$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ の微分係数は $486 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 486 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 243)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}})$

ステップ 2.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

${({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{2 \cdot 2}})$

ステップ 2.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.3.3

${(x^{2} + 243)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 243$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 243$ とします。

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 243$ で置き換えます。

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 (x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.5.2

$x^{2} + 243$ を ${(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$x^{2} + 243$ を ${(x^{2} + 243)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.5.2.2

$x^{2} + 243$ を $- 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ で因数分解します。

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.5.2.3

$x^{2} + 243$ を $(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 243]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

ステップ 2.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$x^{2} + 243$ を ${(x^{2} + 243)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.7

総和則では、 $x^{2} + 243$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ です。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.9

$243$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $243$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = 486 (\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

ステップ 2.2.16

$486$ と $\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.2.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2}) + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.2.1

$- 3$ に $486$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.2.2

$486$ に $243$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.3.1

$1458$ を $- 1458 x^{2} + 118098$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.3.1.1

$1458$ を $- 1458 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.1.2

$1458$ を $118098$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 1458 (81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.1.3

$1458$ を $1458 (- x^{2}) + 1458 (81)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 9^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.3

$- x^{2}$ と $9^{2}$ を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{1458 (9^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 9$ であり、 $b = x$ です。

$f'' (x) = \frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$ です。

$\frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$1458 (9 + x) (9 - x) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$9 + x = 0$

$9 - x = 0$

ステップ 3.3.2

$9 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$9 + x$ が $0$ に等しいとします。

$9 + x = 0$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 3.3.3

$9 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$9 - x$ が $0$ に等しいとします。

$9 - x = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について $9 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$- x = - 9$

ステップ 3.3.3.2.2

$- x = - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$- x = - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$x = 9$

ステップ 3.3.4

最終解は $1458 (9 + x) (9 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 9, 9$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 9$ を $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 9$ で置換えます。

$f (- 9) = \frac{{(- 9)}^{2}}{{(- 9)}^{2} + 243}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$f (- 9) = \frac{81}{{(- 9)}^{2} + 243}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$f (- 9) = \frac{81}{81 + 243}$

ステップ 4.1.2.2.2

$81$ と $243$ をたし算します。

$f (- 9) = \frac{81}{324}$

ステップ 4.1.2.3

$81$ と $324$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$81$ を $81$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{81 (1)}{324}$

ステップ 4.1.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

$81$ を $324$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 9) = \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (- 9) = \frac{1}{4}$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ で代入して $- 9$ 求めた点は、 $(- 9, \frac{1}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 9, \frac{1}{4})$

ステップ 4.3

$9$ を $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$f (9) = \frac{{(9)}^{2}}{{(9)}^{2} + 243}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$9$ を $2$ 乗します。

$f (9) = \frac{81}{9^{2} + 243}$

ステップ 4.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$9$ を $2$ 乗します。

$f (9) = \frac{81}{81 + 243}$

ステップ 4.3.2.2.2

$81$ と $243$ をたし算します。

$f (9) = \frac{81}{324}$

ステップ 4.3.2.3

$81$ と $324$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$81$ を $81$ で因数分解します。

$f (9) = \frac{81 (1)}{324}$

ステップ 4.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.1

$81$ を $324$ で因数分解します。

$f (9) = \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 4}$

ステップ 4.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (9) = \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 4}$

ステップ 4.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (9) = \frac{1}{4}$

ステップ 4.3.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ で代入して $9$ 求めた点は、 $(9, \frac{1}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(9, \frac{1}{4})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 9, \frac{1}{4}), (9, \frac{1}{4})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 9) \cup (9, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 9)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 9.1$ で置換えます。

$f'' (- 9.1) = \frac{1458 (9 - 9.1) (9 - (- 9.1))}{{({(- 9.1)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$f'' (- 9.1) = \frac{1458 (9 - 9.1) (9 - (- 9.1))}{{({(- 9.1)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1$ に $- 9.1$ をかけます。

$f'' (- 9.1) = \frac{1458 (9 - 9.1) (9 + 9.1)}{{({(- 9.1)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$9$ から $9.1$ を引きます。

$f'' (- 9.1) = \frac{1458 \cdot (- 0.1 (9 + 9.1))}{{({(- 9.1)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$1458$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 9.1) = \frac{- 145.8 (9 + 9.1)}{{({(- 9.1)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3.2

$- 145.8$ に $9 + 9.1$ をかけます。

$f'' (- 9.1) = \frac{- 2638.98}{{({(- 9.1)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 6.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 9.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 9.1) = \frac{- 2638.98}{{(82.81 + 243)}^{3}}$

ステップ 6.2.3.2

$82.81$ と $243$ をたし算します。

$f'' (- 9.1) = \frac{- 2638.98}{{325.81}^{3}}$

ステップ 6.2.3.3

$325.81$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 9.1) = \frac{- 2638.98}{34585433.978941}$

ステップ 6.2.4

$- 2638.98$ を $34585433.978941$ で割ります。

$f'' (- 9.1) = - 0.0000763$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- 0.0000763$ です。

$- 0.0000763$

ステップ 6.3

$- 9.1$ で二次導関数は $- 7.63032206 E - 5$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 9)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 9)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 9, 9)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

括弧を削除します。

$f'' (0) = \frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{1458 (9 + 0) (9 + 0)}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.1.2

$9 + 0$ を $1$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{1458 ((9 + 0) (9 + 0))}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.1.3

$9 + 0$ を $1$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{1458 ((9 + 0) (9 + 0))}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (0) = \frac{1458 {(9 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{1458 {(9 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$9$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{1458 \cdot 9^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$9$ を $2$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{1458 \cdot 81}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{1458 \cdot 81}{{(0 + 243)}^{3}}$

ステップ 7.2.3.2

$0$ と $243$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{1458 \cdot 81}{243^{3}}$

ステップ 7.2.3.3

$243$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{1458 \cdot 81}{14348907}$

ステップ 7.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$1458$ に $81$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{118098}{14348907}$

ステップ 7.2.4.2

$118098$ と $14348907$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

$59049$ を $118098$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{59049 (2)}{14348907}$

ステップ 7.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.2.1

$59049$ を $14348907$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

ステップ 7.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

ステップ 7.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{2}{243}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{2}{243}$ です。

$\frac{2}{243}$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $0.00823045$ です。これは正の値なので、 $(- 9, 9)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 9, 9)$ で増加

ステップ 8

区間 $(9, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $9.1$ で置換えます。

$f'' (9.1) = \frac{1458 (9 + 9.1) (9 - (9.1))}{{({(9.1)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

括弧を削除します。

$f'' (9.1) = \frac{1458 (9 + 9.1) (9 - (9.1))}{{({(9.1)}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 1$ に $9.1$ をかけます。

$f'' (9.1) = \frac{1458 (9 + 9.1) (9 - 9.1)}{{({9.1}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$9$ と $9.1$ をたし算します。

$f'' (9.1) = \frac{1458 \cdot (18.1 (9 - 9.1))}{{({9.1}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.1

$1458$ に $18.1$ をかけます。

$f'' (9.1) = \frac{26389.8 (9 - 9.1)}{{({9.1}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3.2

$26389.8$ に $9 - 9.1$ をかけます。

$f'' (9.1) = \frac{- 2638.97999999}{{({9.1}^{2} + 243)}^{3}}$

ステップ 8.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$9.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (9.1) = \frac{- 2638.97999999}{{(82.81 + 243)}^{3}}$

ステップ 8.2.3.2

$82.81$ と $243$ をたし算します。

$f'' (9.1) = \frac{- 2638.97999999}{{325.81}^{3}}$

ステップ 8.2.3.3

$325.81$ を $3$ 乗します。

$f'' (9.1) = \frac{- 2638.97999999}{34585433.978941}$

ステップ 8.2.4

$- 2638.97999999$ を $34585433.978941$ で割ります。

$f'' (9.1) = - 0.0000763$

ステップ 8.2.5

最終的な答えは $- 0.0000763$ です。

$- 0.0000763$

ステップ 8.3

$9.1$ で二次導関数は $- 7.63032206 E - 5$ です。これは負の値なので、 $(9, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(9, \infty)$ で減少

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 9, \frac{1}{4}), (9, \frac{1}{4})$ .

$(- 9, \frac{1}{4}), (9, \frac{1}{4})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例