微分積分例

$y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

$y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{3}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $\frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ です。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.1.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.8

$\frac{2}{3}$ と ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.10

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 2.1.11

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 2.1.11.2

$5$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 2.1.12

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (2)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 2.1.13

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.13.1

$3$ を $15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (2)}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 2.1.13.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 2.1.13.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 2.1.14

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 2.1.15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 2.1.16

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

ステップ 2.1.17

分数をまとめます。

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ステップ 2.1.17.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

ステップ 2.1.17.2

$2$ と $\frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

ステップ 2.1.17.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

ステップ 2.1.17.4

$\frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

ステップ 2.2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3.1.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.3.3

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.4

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.4.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.7

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.8.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.9.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.9.4

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.10

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.12

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.13.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.13.3

$- 2$ と $\frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.13.4

$\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.14

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.17

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.18

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.19

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.20

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.21

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.22

指数を足して ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.22.1

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.22.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.22.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.22.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.22.5

$3$ を $3$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.23

${(x^{2} - 1)}^{1} \cdot 3$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.24

$3$ を $x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.25

$\frac{\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.26

$\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.27

指数を足して ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.27.1

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 2.2.27.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.27.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

ステップ 2.2.27.4

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.28

$\frac{4}{5}$ に $\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{5 (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 2.2.29

$3$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.30.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 1 - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.30.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.30.3.1.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30.3.1.2

$4 (3 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.30.3.1.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 3 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30.3.1.2.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30.3.1.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 - 8 x^{2}}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30.3.2

$12 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30.4

$4$ を $4 x^{2} - 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.30.4.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30.4.2

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2.30.4.3

$4$ を $4 x^{2} + 4 \cdot - 3$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ です。

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$4 (x^{2} - 3) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4 (x^{2} - 3) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$4 (x^{2} - 3) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.1.2.1.2

$x^{2} - 3$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 3 = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 3.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 3.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 3.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{3}$ で置換えます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(\sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.5

指数を求めます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$3$ から $1$ を引きます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{3}{5}$ と $2^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ です。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ で代入して $\sqrt{3}$ 求めた点は、 $(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

ステップ 4.3

$- \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- \sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(1 {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.4.5

指数を求めます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$3$ から $1$ を引きます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.2.2

$\frac{3}{5}$ と $2^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ です。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ で代入して $- \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.8320508$ で置換えます。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1.8320508$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 6.2.1.2

$3.35641016$ から $3$ を引きます。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1.8320508$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 6.2.2.2

$3.35641016$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 6.2.2.3

$2.35641016$ を $\frac{4}{3}$ 乗します。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$4$ に $0.35641016$ をかけます。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

ステップ 6.2.3.2

$15$ に $3.13570007$ をかけます。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

ステップ 6.2.3.3

$1.42564064$ を $47.03550106$ で割ります。

$f'' (- 1.8320508) = 0.03030988$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $0.03030988$ です。

$0.03030988$

ステップ 6.3

$- 1.8320508$ で二次導関数は $0.03030988$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - \sqrt{3})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{3})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} - 3)}{15 {({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{4 (0 - 3)}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7.2.1.2

$0$ から $3$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7.2.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7.2.2.3

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7.2.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 7.2.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.5.1

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 7.2.2.5.2

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{4}}$

ステップ 7.2.2.6

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$4$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{- 12}{15 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.2

$15$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{- 12}{15}$

ステップ 7.2.3.3

$- 12$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.3.1

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{3 (- 4)}{15}$

ステップ 7.2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.3.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

ステップ 7.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

ステップ 7.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{- 4}{5}$

ステップ 7.2.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = - \frac{4}{5}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- \frac{4}{5}$ です。

$- \frac{4}{5}$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $- 0.8$ です。これは負の値なので、 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ で減少

ステップ 8

区間 $(\sqrt{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.8320508$ で置換えます。

$f'' (1.8320508) = \frac{4 ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$1.8320508$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.1.2

$3.35641016$ から $3$ を引きます。

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$1.8320508$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.2.2

$3.35641016$ から $1$ を引きます。

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8.2.2.3

$2.35641016$ を $\frac{4}{3}$ 乗します。

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

ステップ 8.2.3

式を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$4$ に $0.35641016$ をかけます。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

ステップ 8.2.3.2

$15$ に $3.13570007$ をかけます。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

ステップ 8.2.3.3

$1.42564064$ を $47.03550106$ で割ります。

$f'' (1.8320508) = 0.03030988$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $0.03030988$ です。

$0.03030988$

ステップ 8.3

$1.8320508$ で二次導関数は $0.03030988$ です。これは正の値なので、 $(\sqrt{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\sqrt{3}, \infty)$ で増加

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ .

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例