微分積分例

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 10)$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x + 10$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 10)$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 10)$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x + 10$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 10} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 10)$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 10} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (10))$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 10} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (10))$

ステップ 1.1.2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 10} \cdot (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (10))$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 10} \cdot (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10))$

ステップ 1.1.2.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 10} \cdot (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (10))$

ステップ 1.1.2.6

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 10} \cdot (2 x - 2 + 0)$

ステップ 1.1.2.7

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 10} \cdot (2 x - 2)$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 10} (2 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{x^{2} - 2 x + 10})$

ステップ 1.1.3.2

$2 x - 2$ に $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 10}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 10}$

ステップ 1.1.3.3

$2$ を $2 x - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x) - 2}{x^{2} - 2 x + 10}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x) + 2 (- 1)}{x^{2} - 2 x + 10}$

ステップ 1.1.3.3.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{x^{2} - 2 x + 10}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 (x - 1)}{x^{2} - 2 x + 10}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 10}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 10})$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 2 x + 10) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 10)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 2 x + 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 10)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 2 x + 10) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 10)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 2 x + 10) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 10)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 2 x + 10) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 10)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.4.2

$x^{2} - 2 x + 10$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 10)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.5

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.10

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) (2 x - 2 + 0)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.11.1

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.11.2

$2$ と $\frac{x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 10 - (x - 1) (2 x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 10 + (- x + 1) (2 x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 10 + 2 ((- x + 1) (2 x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 10 + 2 ((- x + 1) (2 x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.2

$2$ に $10$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 ((- x + 1) (2 x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 ((- x + 1) (2 x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 1) (2 x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.4.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- 2 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- 2 x^{2} + 2 x + 2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.6

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.7.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 - 4 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.7.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 - 4 x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.7.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 20 - 4 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.2

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 4 x + 20 + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.3

$- 4 x$ と $8 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4 x + 20 - 4}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.4

$20$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4 x + 16}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.4.1

$2$ を $- 2 x^{2} + 4 x + 16$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.4.1.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 4 x + 16}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.1.2

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (2 x) + 16}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.1.3

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (8)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.1.4

$2$ を $2 (- x^{2}) + 2 (2 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 2 x) + 2 (8)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.1.5

$2$ を $2 (- x^{2} + 2 x) + 2 (8)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 2 x + 8)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.4.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.4.2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 2 (x) + 8)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.2.1.2

$2$ を $- 2$ プラス $4$ に書き換える

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 2 + 4) x + 8)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.2.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 2 x + 4 x + 8)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.4.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 2 x) + 4 x + 8)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 2) - 4 (- x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.4.2.3

最大公約数 $- x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 2) (x - 4))}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 2) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.5

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 2) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.6

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 2) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.7

$- 1$ を $- (x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 2)) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.8

$- (x + 2)$ を $- 1 (x + 2)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 2)) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.9

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 2)) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.10

$- \frac{(2 (x + 2)) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 2) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2 (x + 2) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$ です。

$- \frac{2 (x + 2) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 (x + 2) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2 (x + 2) (x - 4)}{{(x^{2} - 2 x + 10)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 (x + 2) (x - 4) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.3.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.3.4

最終解は $2 (x + 2) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 4$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 2$ を $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 10)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \ln ({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 + 10)$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = \ln (4 - 2 \cdot - 2 + 10)$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = \ln (4 + 4 + 10)$

ステップ 3.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$4$ と $4$ をたし算します。

$f (- 2) = \ln (8 + 10)$

ステップ 3.1.2.2.2

$8$ と $10$ をたし算します。

$f (- 2) = \ln (18)$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $\ln (18)$ です。

$\ln (18)$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 10)$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, \ln (18))$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, \ln (18))$

ステップ 3.3

$4$ を $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 10)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = \ln ({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 10)$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = \ln (16 - 2 \cdot 4 + 10)$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f (4) = \ln (16 - 8 + 10)$

ステップ 3.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$16$ から $8$ を引きます。

$f (4) = \ln (8 + 10)$

ステップ 3.3.2.2.2

$8$ と $10$ をたし算します。

$f (4) = \ln (18)$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $\ln (18)$ です。

$\ln (18)$

ステップ 3.4

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 10)$ で代入して $4$ 求めた点は、 $(4, \ln (18))$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(4, \ln (18))$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 2, \ln (18)), (4, \ln (18))$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = - \frac{2 ((- 2.1) + 2) ((- 2.1) - 4)}{{({(- 2.1)}^{2} - 2 \cdot - 2.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2.1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 2.1) = - \frac{2 \cdot (- 0.1 (- 2.1 - 4))}{{({(- 2.1)}^{2} - 2 \cdot - 2.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$2$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = - \frac{- 0.2 (- 2.1 - 4)}{{({(- 2.1)}^{2} - 2 \cdot - 2.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2.2

$- 0.2$ に $- 2.1 - 4$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = - \frac{1.22}{{({(- 2.1)}^{2} - 2 \cdot - 2.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = - \frac{1.22}{{(4.41 - 2 \cdot - 2.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 2$ に $- 2.1$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = - \frac{1.22}{{(4.41 + 4.2 + 10)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$4.41$ と $4.2$ をたし算します。

$f'' (- 2.1) = - \frac{1.22}{{(8.61 + 10)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.4

$8.61$ と $10$ をたし算します。

$f'' (- 2.1) = - \frac{1.22}{{18.61}^{2}}$

ステップ 5.2.2.5

$18.61$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = - \frac{1.22}{346.3321}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$1.22$ を $346.3321$ で割ります。

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.00352263$

ステップ 5.2.3.2

$- 1$ に $0.00352263$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = - 0.00352263$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- 0.00352263$ です。

$- 0.00352263$

ステップ 5.3

$- 2.1$ で二次導関数は $- 0.00352263$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 2, 4)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = - \frac{2 ((1) + 2) ((1) - 4)}{{({(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 10)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (1) = - \frac{2 \cdot (3 (1 - 4))}{{(1^{2} - 2 \cdot 1 + 10)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (1) = - \frac{6 (1 - 4)}{{(1^{2} - 2 \cdot 1 + 10)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (1) = - \frac{6 \cdot - 3}{{(1^{2} - 2 \cdot 1 + 10)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = - \frac{6 \cdot - 3}{{(1 - 2 \cdot 1 + 10)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = - \frac{6 \cdot - 3}{{(1 - 2 + 10)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (1) = - \frac{6 \cdot - 3}{{(- 1 + 10)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$- 1$ と $10$ をたし算します。

$f'' (1) = - \frac{6 \cdot - 3}{9^{2}}$

ステップ 6.2.2.5

$9$ を $2$ 乗します。

$f'' (1) = - \frac{6 \cdot - 3}{81}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$6$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (1) = - \frac{- 18}{81}$

ステップ 6.2.3.2

$- 18$ と $81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$9$ を $- 18$ で因数分解します。

$f'' (1) = - \frac{9 (- 2)}{81}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.1

$9$ を $81$ で因数分解します。

$f'' (1) = - \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (1) = - \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (1) = - \frac{- 2}{9}$

ステップ 6.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (1) = \frac{2}{9}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{2}{9}$ です。

$\frac{2}{9}$

ステップ 6.3

$1$ で二次導関数は $0.\overline{2}$ です。これは正の値なので、 $(- 2, 4)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 2, 4)$ で増加

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4.1$ で置換えます。

$f'' (4.1) = - \frac{2 ((4.1) + 2) ((4.1) - 4)}{{({(4.1)}^{2} - 2 \cdot 4.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4.1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (4.1) = - \frac{2 \cdot (6.1 (4.1 - 4))}{{({4.1}^{2} - 2 \cdot 4.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1

$2$ に $6.1$ をかけます。

$f'' (4.1) = - \frac{12.2 (4.1 - 4)}{{({4.1}^{2} - 2 \cdot 4.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.2

$12.2$ に $4.1 - 4$ をかけます。

$f'' (4.1) = - \frac{1.22}{{({4.1}^{2} - 2 \cdot 4.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$4.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (4.1) = - \frac{1.22}{{(16.81 - 2 \cdot 4.1 + 10)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$- 2$ に $4.1$ をかけます。

$f'' (4.1) = - \frac{1.22}{{(16.81 - 8.2 + 10)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$16.81$ から $8.2$ を引きます。

$f'' (4.1) = - \frac{1.22}{{(8.61 + 10)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4

$8.61$ と $10$ をたし算します。

$f'' (4.1) = - \frac{1.22}{{18.61}^{2}}$

ステップ 7.2.2.5

$18.61$ を $2$ 乗します。

$f'' (4.1) = - \frac{1.22}{346.3321}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$1.22$ を $346.3321$ で割ります。

$f'' (4.1) = - 1 \cdot 0.00352263$

ステップ 7.2.3.2

$- 1$ に $0.00352263$ をかけます。

$f'' (4.1) = - 0.00352263$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 0.00352263$ です。

$- 0.00352263$

ステップ 7.3

$4.1$ で二次導関数は $- 0.00352263$ です。これは負の値なので、 $(4, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(4, \infty)$ で減少

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, \ln (18)), (4, \ln (18))$ .

$(- 2, \ln (18)), (4, \ln (18))$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例