微分積分例

$10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ です。

$\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

ステップ 1.2

$10$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$0.8$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ の微分係数は $0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ です。

$0 + 0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

ステップ 2.2

$f (t) = t$ および $g (t) = \sin (\frac{t^{3}}{100})$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 + 0.8 (t \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t^{3}}{100})] + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.3

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = \frac{t^{3}}{100}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{t^{3}}{100}$ とします。

$0 + 0.8 (t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.3.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$0 + 0.8 (t (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{t^{3}}{100}$ で置き換えます。

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4

$\frac{1}{100}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{t^{3}}{100}$ の微分係数は $\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}])) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

ステップ 2.7

$3$ と $\frac{1}{100}$ をまとめます。

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{3}{100} t^{2})) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

ステップ 2.8

$\frac{3}{100}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{3 t^{2}}{100}) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

ステップ 2.9

$\cos (\frac{t^{3}}{100})$ と $\frac{3 t^{2}}{100}$ をまとめます。

$0 + 0.8 (t \frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

ステップ 2.10

$t$ と $\frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100}$ をまとめます。

$0 + 0.8 (\frac{t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

ステップ 2.11

$t$ を $1$ 乗します。

$0 + 0.8 (\frac{t^{2} t^{1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

ステップ 2.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 + 0.8 (\frac{t^{2 + 1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

ステップ 2.13

$2$ と $1$ をたし算します。

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

ステップ 2.14

$3$ を $\cos (\frac{t^{3}}{100})$ の左に移動させます。

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cdot \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

ステップ 2.15

$\sin (\frac{t^{3}}{100})$ に $1$ をかけます。

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}))$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$0 + 0.8 \frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$0.8$ と $\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100}$ をまとめます。

$0 + \frac{0.8 (t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

ステップ 3.2.2

$3$ に $0.8$ をかけます。

$0 + \frac{2.4 (t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$ をたし算します。

$\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2.4$ を $2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ で因数分解します。

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

ステップ 3.3.2

$100$ を $100$ で因数分解します。

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100 (1)} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

ステップ 3.3.3

分数を分解します。

$\frac{2.4}{100} \cdot \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

ステップ 3.3.4

$2.4$ を $100$ で割ります。

$0.024 \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

ステップ 3.3.5

$t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ を $1$ で割ります。

$0.024 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}) + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

微分積分 例

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