微分積分例

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.6.1

積の法則を $- i \sqrt{3}$ に当てはめます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.6.2

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.8

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.9

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.10

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.10.4.1

共通因数を約分します。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.10.4.2

式を書き換えます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.10.5

指数を求めます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.11

$3 (- 1 \cdot 3)$ を掛けます。

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ステップ 2.1.11.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.11.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

ステップ 2.1.12

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.12.1

積の法則を $- i \sqrt{3}$ に当てはめます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

ステップ 2.1.12.2

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

ステップ 2.1.13

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

ステップ 2.1.14

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

ステップ 2.1.15

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

ステップ 2.1.16

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

ステップ 2.1.17

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

ステップ 2.1.18

$i$ に $1$ をかけます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

ステップ 2.1.19

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

ステップ 2.1.20

$3$ を $3$ 乗します。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

ステップ 2.1.21

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.21.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

ステップ 2.1.21.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

ステップ 2.1.22

累乗根の下から項を取り出します。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

ステップ 2.1.23

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.1

$1$ から $9$ を引きます。

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.2

$- 3 i \sqrt{3}$ と $3 i \sqrt{3}$ をたし算します。

$0 - 8$

ステップ 2.2.3

$0$ から $8$ を引きます。

$- 8$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = - 8$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

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ステップ 6.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

ステップ 6.2

$- 8$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + 64}$

ステップ 6.3

$0$ と $64$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{64}$

ステップ 6.4

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

ステップ 6.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 8$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 8})$

ステップ 8

$\frac{0}{- 8}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $π$ です。

$θ = π$

ステップ 9

$θ = π$ と $| z | = 8$ の値を代入します。

$8 (\cos (π) + i \sin (π))$

微分積分 例

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