微分積分例

$y = \frac{5 x}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

$y = \frac{5 x}{x^{2} - 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{5 x}{x^{2} - 1}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x}{x^{2} - 1}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ です。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

ステップ 2.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = 5 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.2

$x^{2} - 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.3

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 5 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = 5 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

ステップ 2.1.9

$5$ と $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{5 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{5 (- x^{2}) + 5 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 5 x^{2} + 5 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 5 x^{2} - 5}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = - 5 x^{2} - 5$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 5 x^{2} - 5) - (- 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 5 x^{2} - 5) - (- 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 5 x^{2} - 5) - (- 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.2

総和則では、 $- 5 x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (- 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.3

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) - (- 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (- 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.5

$2$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (- 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.6

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x + 0) - (- 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.7

$- 10 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - (- 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - (- 5 x^{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - (- 5 x^{2} - 5) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - (- 5 x^{2} - 5) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - 2 (- 5 x^{2} - 5) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - 2 (- 5 x^{2} - 5) ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - 2 (- 5 x^{2} - 5) ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - 2 (- 5 x^{2} - 5) ((x^{2} - 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - 2 (- 5 x^{2} - 5) ((x^{2} - 1) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.2

$2$ を $x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - 2 (- 5 x^{2} - 5) (2 \cdot ((x^{2} - 1) x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) - 4 (- 5 x^{2} - 5) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 10 x) + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 10 {(x^{2} - 1)}^{2} x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.2

${(x^{2} - 1)}^{2}$ を $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 10 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.2

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.3

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.2

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 10 x^{4} - 10 (- 2 x^{2}) - 10 \cdot 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.6.1

$- 2$ に $- 10$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 10 x^{4} + 20 x^{2} - 10 \cdot 1) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6.2

$- 10$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 10 x^{4} + 20 x^{2} - 10) x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{4} x + 20 x^{2} x - 10 x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x \cdot x^{4}) + 20 x^{2} x - 10 x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 10 (x \cdot x^{4}) + 20 x^{2} x - 10 x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{1 + 4} + 20 x^{2} x - 10 x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{2} x - 10 x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 (x \cdot x^{2}) - 10 x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 (x \cdot x^{2}) - 10 x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{1 + 2} - 10 x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + (- 4 (- 5 x^{2}) - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.9.1

$- 5$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + (20 x^{2} - 4 \cdot - 5) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9.2

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + (20 x^{2} + 20) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + (20 x^{2} + 20) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + (20 x^{2} + 20) (x^{2 + 1} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + (20 x^{2} + 20) (x^{3} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + (20 x^{2} + 20) (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(20 x^{2} + 20) (x^{3} - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{2} (x^{3} - x) + 20 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{2} x^{3} + 20 x^{2} (- x) + 20 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{2} x^{3} + 20 x^{2} (- x) + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 (x^{3} x^{2}) + 20 x^{2} (- x) + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{3 + 2} + 20 x^{2} (- x) + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} + 20 x^{2} (- x) + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} + 20 \cdot (- 1 x^{2} x) + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} + 20 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} + 20 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} + 20 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} + 20 \cdot (- 1 x^{3}) + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.4

$20$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} - 20 x^{3} + 20 x^{3} + 20 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5

$- 1$ に $20$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} - 20 x^{3} + 20 x^{3} - 20 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.2

$- 20 x^{3}$ と $20 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} + 0 - 20 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.3

$20 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x + 20 x^{5} - 20 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.2

$- 10 x^{5}$ と $20 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{10 x^{5} + 20 x^{3} - 10 x - 20 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.3

$- 10 x$ から $20 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{10 x^{5} + 20 x^{3} - 30 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1

$10 x$ を $10 x^{5} + 20 x^{3} - 30 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1.1

$10 x$ を $10 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (x^{4}) + 20 x^{3} - 30 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.2

$10 x$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (x^{4}) + 10 x (2 x^{2}) - 30 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.3

$10 x$ を $- 30 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (x^{4}) + 10 x (2 x^{2}) + 10 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.4

$10 x$ を $10 x (x^{4}) + 10 x (2 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 10 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.5

$10 x$ を $10 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 10 x (- 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{10 x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{10 x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{10 x (u^{2} + 2 u - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} + 2 u - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 2.2.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{10 x ((u - 1) (u + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{10 x ((x^{2} - 1) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{10 x ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f'' (x) = \frac{10 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{10 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f'' (x) = \frac{10 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{10 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.6

$x + 1$ と ${(x + 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.6.1

$x + 1$ を $10 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((10 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.6.2.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((10 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

ステップ 2.2.5.6.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((10 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

ステップ 2.2.5.6.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(10 x (x - 1)) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.7

$x - 1$ と ${(x - 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.7.1

$x - 1$ を $(10 x (x - 1)) (x^{2} + 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((10 x) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.7.2.1

$x - 1$ を ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((10 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

ステップ 2.2.5.7.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((10 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

ステップ 2.2.5.7.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(10 x) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{10 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{10 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ です。

$\frac{10 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{10 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{10 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$10 x (x^{2} + 3) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.3.3

$x^{2} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{2} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 3 = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について $x^{2} + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x^{2} = - 3$

ステップ 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

ステップ 3.3.3.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

ステップ 3.3.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 3.3.4

最終解は $10 x (x^{2} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{5 x}{x^{2} - 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{5 (0)}{{(0)}^{2} - 1}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 1}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を $- 1$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{5 x}{x^{2} - 1}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = \frac{10 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{((- 0.1) + 1)}^{3} {((- 0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$10$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 0.1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{0.9}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 0.1$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{0.9}^{3} {(- 1.1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$0.9$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{0.729 {(- 1.1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.4

$- 1.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{0.729 \cdot - 1.331}$

ステップ 6.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1 (0.01 + 3)}{0.729 \cdot - 1.331}$

ステップ 6.2.3.2

$0.01$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1 \cdot 3.01}{0.729 \cdot - 1.331}$

ステップ 6.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$0.729$ に $- 1.331$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1 \cdot 3.01}{- 0.970299}$

ステップ 6.2.4.2

$- 1$ に $3.01$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 3.01}{- 0.970299}$

ステップ 6.2.4.3

$- 3.01$ を $- 0.970299$ で割ります。

$f'' (- 0.1) = 3.10213655$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $3.10213655$ です。

$3.10213655$

ステップ 6.3

$- 0.1$ で二次導関数は $3.10213655$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = \frac{10 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 3)}{{((0.1) + 1)}^{3} {((0.1) - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$10$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{1 ({0.1}^{2} + 3)}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

${0.1}^{2} + 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{{0.1}^{2} + 3}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0.1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0.1) = \frac{{0.1}^{2} + 3}{{1.1}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$0.1$ から $1$ を引きます。

$f'' (0.1) = \frac{{0.1}^{2} + 3}{{1.1}^{3} {(- 0.9)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$1.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = \frac{{0.1}^{2} + 3}{1.331 {(- 0.9)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.4

$- 0.9$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = \frac{{0.1}^{2} + 3}{1.331 \cdot - 0.729}$

ステップ 7.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = \frac{0.01 + 3}{1.331 \cdot - 0.729}$

ステップ 7.2.3.2

$0.01$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0.1) = \frac{3.01}{1.331 \cdot - 0.729}$

ステップ 7.2.4

式を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$1.331$ に $- 0.729$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{3.01}{- 0.970299}$

ステップ 7.2.4.2

$3.01$ を $- 0.970299$ で割ります。

$f'' (0.1) = - 3.10213655$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $- 3.10213655$ です。

$- 3.10213655$

ステップ 7.3

$0.1$ で二次導関数は $- 3.10213655$ です。これは負の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, 0)$ です。

$(0, 0)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例