微分積分例

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ ならば $V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$V = \sqrt[3]{x^{2}}$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$V = π \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ です。

$V = π \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{1}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{3}{5}$ と $x^{\frac{5}{3}}$ をまとめます。

$V = π \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{1}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ の値を求めます。

$V = π ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

ステップ 5.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

ステップ 5.2.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

ステップ 5.2.2.3

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

ステップ 5.2.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

ステップ 5.2.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.5.1

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

ステップ 5.2.2.5.2

式を書き換えます。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

ステップ 5.2.2.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

ステップ 5.2.2.7

$3$ に $0$ をかけます。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{5})$

ステップ 5.2.2.8

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.8.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

ステップ 5.2.2.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.8.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.8.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{1})$

ステップ 5.2.2.8.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (\frac{3}{5} - 0)$

ステップ 5.2.2.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (\frac{3}{5} + 0)$

ステップ 5.2.2.10

$\frac{3}{5}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (\frac{3}{5})$

ステップ 5.2.2.11

$π$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 3}{5}$

ステップ 5.2.2.12

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{3 π}{5}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{3 π}{5}$

10進法形式：

$V = 1.88495559 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例