微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{3 \cos (π + 2 x)}$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{\cos (π + 2 x)}$

ステップ 2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

ステップ 3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

ステップ 4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

ステップ 5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

ステップ 6

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

ステップ 7

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

ステップ 9

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} π + 2 x)}$

ステップ 10

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} π + lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 11

$x$ が $0$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 12

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 13

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 13.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 13.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

ステップ 14

答えを簡約します。

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ステップ 14.1

分子を簡約します。

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ステップ 14.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

ステップ 14.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 \cdot 1 - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

ステップ 14.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

ステップ 14.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 - 0}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

ステップ 14.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 + 0}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

ステップ 14.1.6

$1 + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

ステップ 14.1.7

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

ステップ 14.2

分母を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π + 0)}$

ステップ 14.2.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π)}$

ステップ 14.2.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- \cos (0)}$

ステップ 14.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 14.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1}$

ステップ 14.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1}$

ステップ 14.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 1}$

ステップ 14.4

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- 1$

微分積分 例

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