微分積分例

$y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

ステップ 1

$y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2} + 5 x$ および $g (x) = 25 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

総和則では、 $25 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.7

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.10.2

$x^{2} + 5 x$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.12

$2$ を $x^{2} + 5 x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot ((x^{2} + 5 x) x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.2.1

$2$ に $25$ をかけます。

$f' (x) = \frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2.2

$25$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.2.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.5

$5$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.2

$50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.2.1

$- 2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.2.2

$50 x + 125 - 5 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.3

$- 5 x^{2}$ と $10 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1

$5$ を $5 x^{2} + 50 x + 125$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1.1

$5$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.1.2

$5$ を $50 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.1.3

$5$ を $125$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.1.4

$5$ を $5 x^{2} + 5 (10 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.1.5

$5$ を $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 2.1.3.5.2.3

多項式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6.2

$- x^{2}$ と $5^{2}$ を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5$ であり、 $b = x$ です。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6.4

積の法則を $(5 + x) (5 - x)$ に当てはめます。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7

${(x + 5)}^{2}$ と ${(5 + x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ です。

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$5 = 0$

ステップ 3.3

$5 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(5 - x)}^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

$5 - x$ が $0$ に等しいとします。

$5 - x = 0$

ステップ 5.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- x = - 5$

ステップ 5.2.2.2

$- x = - 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$- x = - 5$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.3.1

$- 5$ を $- 1$ で割ります。

$x = 5$

ステップ 6

微分係数 $f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$ です。

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 7

区間 $(- \infty, 5)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - (4))}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - 4)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$5$ から $4$ を引きます。

$f' (4) = \frac{5}{1^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (4) = \frac{5}{1}$

ステップ 7.2.2

$5$ を $1$ で割ります。

$f' (4) = 5$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 7.3

$x = 4$ で微分係数は $5$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 5)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 5)$ で増加

ステップ 8

区間 $(5, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - (6))}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - 6)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$5$ から $6$ を引きます。

$f' (6) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = \frac{5}{1}$

ステップ 8.2.2

$5$ を $1$ で割ります。

$f' (6) = 5$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 8.3

$x = 6$ で微分係数は $5$ です。これは正の値なので、関数は $(5, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(5, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 5), (5, \infty)$ で増加

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例