微分積分例

$\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$

ステップ 1

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 9

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 9.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 9.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{1}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 9.5

簡約します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

ステップ 10

${\sqrt{x}}^{4}$ を $x^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 1}$

ステップ 10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 1}$

ステップ 10.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{4}{2}} + 1}$

ステップ 10.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 1}$

ステップ 10.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 1}$

ステップ 10.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 1}$

ステップ 10.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2}{1}} + 1}$

ステップ 10.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1}$

ステップ 11

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{x}{x^{2} + 1}$ をかけます。

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

ステップ 12

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 13

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 13.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 13.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 13.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 13.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 13.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 13.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

微分積分 例

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