微分積分例

$\frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1

$\frac{\ln (x)}{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ です。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$1 - \ln (x) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \ln (x) = - 1$

ステップ 3.3.2

$- \ln (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$- \ln (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\ln (x) = 1$

ステップ 3.3.3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

ステップ 3.3.4

対数の定義を利用して $\ln (x) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{1} = x$

ステップ 3.3.5

方程式を $x = e^{1}$ として書き換えます。

$x = e$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $e$ です。

$e$

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.3

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 5.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 6

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

ステップ 7

定義域にない区間を除外します。

$(0, e)$

ステップ 8

区間 $(0, e)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.35914085$ で置換えます。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$1.35914085$ を $2$ 乗します。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

ステップ 8.2.2

$e$ を概算で置き換えます。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

ステップ 8.2.3

$1.35914085$ の対数の底 $2.71828182$ は約 $0.30685277$ です。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

ステップ 8.2.4

$- 1$ に $0.30685277$ をかけます。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

ステップ 8.2.5

$1$ から $0.30685277$ を引きます。

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

ステップ 8.2.6

$0.69314722$ を $1.84726385$ で割ります。

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

ステップ 8.2.7

最終的な答えは $0.37522914$ です。

$0.37522914$

ステップ 8.3

$x = 1.35914085$ で微分係数は $0.37522914$ です。これは正の値なので、関数は $(0, e)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, e)$ で増加

ステップ 9

定義域にない区間を除外します。

$(0, e), (e, \infty)$

ステップ 10

区間 $(e, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $3.7182817$ で置換えます。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$3.7182817$ を $2$ 乗します。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

ステップ 10.2.2

$e$ を概算で置き換えます。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

ステップ 10.2.3

$3.7182817$ の対数の底 $2.71828182$ は約 $1.31326165$ です。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

ステップ 10.2.4

$- 1$ に $1.31326165$ をかけます。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

ステップ 10.2.5

$1$ から $1.31326165$ を引きます。

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

ステップ 10.2.6

$- 0.31326165$ を $13.8256188$ で割ります。

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

ステップ 10.2.7

最終的な答えは $- 0.02265805$ です。

$- 0.02265805$

ステップ 10.3

$x = 3.7182817$ で微分係数は $- 0.02265805$ です。これは負の値なので、関数は $(e, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(e, \infty)$ で減少

ステップ 11

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(0, e)$ で増加

$(e, \infty)$ で減少

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例