微分積分例

$- 3 x^{2} + 12 y^{2} = 84$

ステップ 1

方程式の両辺に $3 x^{2}$ を足します。

$12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$

ステップ 2

$12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

ステップ 2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$84$ を $12$ で割ります。

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{12}$

ステップ 2.3.1.2

$3$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} = 7 + \frac{3 (x^{2})}{12}$

ステップ 2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

ステップ 2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

ステップ 2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} = 7 + \frac{x^{2}}{4}$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{7 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 4.2

$7$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4 + x^{2}}{4}}$

ステップ 4.4

$7$ に $4$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{28 + x^{2}}{4}}$

ステップ 4.5

$\frac{28 + x^{2}}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.1

$28 + x^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{4}}$

ステップ 4.5.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 4.5.3

分数 $\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})}$

ステップ 4.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{28 + x^{2}}$

ステップ 4.7

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{28 + x^{2}}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

ステップ 6

$\sqrt{28 + x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$28 + x^{2} \geq 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

不等式の両辺から $28$ を引きます。

$x^{2} \geq - 28$

ステップ 7.2

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 8

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 9

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

ステップ 10

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

値域： $(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty), {y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例