微分積分例

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

ステップ 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

ステップ 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

ステップ 2.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $y^{3} - 27 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 27 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$- 27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 27 y$ の微分係数は $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' - 27 y'$

ステップ 2.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $x^{2} - 90$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

ステップ 2.3.3

$- 90$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 90$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

ステップ 2.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 2.5.1

$3 y'$ を $3 y^{2} y' - 27 y'$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.1.1

$3 y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

ステップ 2.5.1.2

$3 y'$ を $- 27 y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

ステップ 2.5.1.3

$3 y'$ を $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ で因数分解します。

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

ステップ 2.5.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

ステップ 2.5.3

因数分解。

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ステップ 2.5.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 3$ です。

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

ステップ 2.5.3.2

不要な括弧を削除します。

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

ステップ 2.5.4

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ の各項を $3 (y + 3) (y - 3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ の各項を $3 (y + 3) (y - 3)$ で割ります。

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 2.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 2.5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 2.5.4.2.2

$y + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 2.5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 2.5.4.2.3

$y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 2.5.4.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 2.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 3.2

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 90$

ステップ 4.2.2

$0$ から $90$ を引きます。

$f (0) = - 90$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 90$ です。

$- 90$

ステップ 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

ステップ 6

微分積分 例

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