微分積分例

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

ステップ 1

指定した区間 $[a, b]$ における関数 $f$ の二乗平均平方根は、元の値の二乗の算術平均（平均）の平方根です。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

ステップ 2

実際の値を関数の二乗平均平方根の公式に代入します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

ステップ 3

積分を求めます。

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ステップ 3.1

半角公式を利用して $\sin^{2} (x)$ を $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

ステップ 3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

ステップ 3.6

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.6.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.6.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.6.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 3.6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 3.6.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

ステップ 3.6.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$u_{lower} = - 4$

ステップ 3.6.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

ステップ 3.6.5

$2$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = 8$

ステップ 3.6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

ステップ 3.6.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 3.7

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 3.8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

ステップ 3.9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

ステップ 3.10

代入し簡約します。

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ステップ 3.10.1

$4$ および $- 2$ で $x$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

ステップ 3.10.2

$8$ および $- 4$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

ステップ 3.10.3

$4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.11.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.11.1.1.1

$\sin (8)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

ステップ 3.11.1.1.2

$\sin (- 4)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

ステップ 3.11.1.1.3

$- 1$ に $0.75680249$ をかけます。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

ステップ 3.11.1.2

$0.98935824$ から $0.75680249$ を引きます。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

ステップ 3.11.1.3

$- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ を掛けます。

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ステップ 3.11.1.3.1

$0.23255575$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

ステップ 3.11.1.3.2

$- 0.23255575$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

ステップ 3.11.1.4

$- 0.23255575$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

ステップ 3.11.2

$6$ から $0.11627787$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

ステップ 3.11.3

$\frac{1}{2}$ と $5.88372212$ をまとめます。

$\frac{5.88372212}{2}$

ステップ 3.11.4

$5.88372212$ を $2$ で割ります。

$2.94186106$

ステップ 4

二乗平均平方根の公式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{4 + 2}$ と $2.94186106$ をまとめます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

ステップ 4.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ と $2$ をたし算します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

ステップ 4.2.2

$2.94186106$ を $6$ で割ります。

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

10進法形式：

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$

微分積分 例

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