微分積分例

$y = x^{4}$ , $[- 1, 1]$

ステップ 1

指定した区間 $[a, b]$ における関数 $f$ の二乗平均平方根は、元の値の二乗の算術平均（平均）の平方根です。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

ステップ 2

実際の値を関数の二乗平均平方根の公式に代入します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{2} d x)}$

ステップ 3

積分を求めます。

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ステップ 3.1

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot 2} d x$

ステップ 3.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\int_{- 1}^{1} x^{8} d x$

ステップ 3.2

べき乗則では、 $x^{8}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{9} x^{9}$ です。

$\frac{1}{9} x^{9}]_{- 1}^{1}$

ステップ 3.3

代入し簡約します。

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ステップ 3.3.1

$1$ および $- 1$ で $\frac{1}{9} x^{9}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{9} \cdot 1^{9}) - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{1}{9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ を $9$ 乗します。

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 1$

ステップ 3.3.2.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{9})$

ステップ 3.3.2.5

$\frac{1}{9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{9} + \frac{1}{9}$

ステップ 3.3.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 1}{9}$

ステップ 3.3.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{9}$

ステップ 4

二乗平均平方根の公式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{1 + 1}$ に $\frac{2}{9}$ をかけます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{(1 + 1) \cdot 9}}$

ステップ 4.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

ステップ 4.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{2}{2 \cdot 9}$ を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

ステップ 4.4

$\sqrt{\frac{1}{9}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.6

分母を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 4.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f_{rms} = \frac{1}{3}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例