微分積分例

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$

ステップ 1

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

ステップ 9

${\sqrt{x}}^{7}$ を $\sqrt{x^{7}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{7}})$

ステップ 10

$18$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{7}}$

ステップ 11

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $\sqrt{x^{7}}$ をまとめます。

$\frac{18 \sqrt{x^{7}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

$2$ を $18 \sqrt{x^{7}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13

共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14

$\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ を $\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ に書き換えます。

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ステップ 14.1

$x^{7}$ を ${(x^{3})}^{2} x$ に書き換えます。

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ステップ 14.1.1

$x^{6}$ を因数分解します。

$\frac{9 \sqrt{x^{6} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.1.2

$x^{6}$ を ${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{{(x^{3})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 15

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{9 (x^{3} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16

指数を足して $x^{3}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 16.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 x^{3 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{9 x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.5

分子を簡約します。

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ステップ 16.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 x^{\frac{6 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.5.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$9 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 18

指数を足して $x^{\frac{7}{2}}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 18.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{2}})$

ステップ 18.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{7}{2}}$

ステップ 18.3

公分母の分子をまとめます。

$9 x^{\frac{- 1 + 7}{2}}$

ステップ 18.4

$- 1$ と $7$ をたし算します。

$9 x^{\frac{6}{2}}$

ステップ 18.5

$6$ を $2$ で割ります。

$9 x^{3}$

微分積分 例

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