微分積分例

$f (x) = x \sin (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

ステップ 1.3.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x \cos (x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - x \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- x \sin (x) + 2 \cos (x)$ です。

$- x \sin (x) + 2 \cos (x)$

微分積分 例

微分積分例