微分積分例

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1 - t^{2}} d t$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1^{2} - t^{2}} d t]$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = t$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

ステップ 2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.1

$1 - t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

ステップ 2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

ステップ 2.2

$d$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

ステップ 3

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ の微分係数は $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- x^{- 2})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 6.2

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$

ステップ 6.3

$- \frac{1}{x^{2}}$ と $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ をまとめます。

$- \frac{\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例