微分積分例

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{4} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} + 27$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} + 27$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{4} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

ステップ 1.1.2.3

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

ステップ 1.1.2.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

ステップ 1.1.2.4.2

$4$ と $\frac{1}{x^{4} + 27}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

ステップ 1.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{4} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.2

$3$ を $x^{4} + 27$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.3

総和則では、 $x^{4} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.5

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.3.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.4

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.4.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.2.5

$4$ と $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.4.1.1.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.4.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.4.1.3

$3$ に $27$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.4.1.4

$81$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.4.1.5

$- 4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.4.2

$12 x^{6}$ から $16 x^{6}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ です。

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1

$- 4 x^{2}$ を $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1.1

$- 4 x^{2}$ を $- 4 x^{6}$ で因数分解します。

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

ステップ 2.3.1.1.2

$- 4 x^{2}$ を $324 x^{2}$ で因数分解します。

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

ステップ 2.3.1.1.3

$- 4 x^{2}$ を $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ で因数分解します。

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

ステップ 2.3.1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

ステップ 2.3.1.3

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

ステップ 2.3.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 9$ です。

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

ステップ 2.3.1.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

ステップ 2.3.1.5.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

ステップ 2.3.1.5.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.3.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.3.4

$x^{2} + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$x^{2} + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 9 = 0$

ステップ 2.3.4.2

$x$ について $x^{2} + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.4.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} = - 9$

ステップ 2.3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

ステップ 2.3.4.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

ステップ 2.3.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

ステップ 2.3.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

ステップ 2.3.4.2.3.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.3.4.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 3$

ステップ 2.3.4.2.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i$

ステップ 2.3.4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i$

ステップ 2.3.4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i$

ステップ 2.3.4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i, - 3 i$

ステップ 2.3.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.3.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.3.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.3.7

最終解は $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \ln (0 + 27)$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $27$ をたし算します。

$f (0) = \ln (27)$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $\ln (27)$ です。

$\ln (27)$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, \ln (27))$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, \ln (27))$

ステップ 3.3

$- 3$ を $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

ステップ 3.3.2.2

$81$ と $27$ をたし算します。

$f (- 3) = \ln (108)$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $\ln (108)$ です。

$\ln (108)$

ステップ 3.4

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ で代入して $- 3$ 求めた点は、 $(- 3, \ln (108))$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 3, \ln (108))$

ステップ 3.5

$3$ を $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$3$ を $4$ 乗します。

$f (3) = \ln (81 + 27)$

ステップ 3.5.2.2

$81$ と $27$ をたし算します。

$f (3) = \ln (108)$

ステップ 3.5.2.3

最終的な答えは $\ln (108)$ です。

$\ln (108)$

ステップ 3.6

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ で代入して $3$ 求めた点は、 $(3, \ln (108))$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(3, \ln (108))$

ステップ 3.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3.1$ で置換えます。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3.1$ を $6$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 4$ に $887.503681$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$- 3.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.4

$324$ に $9.61$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.5

$- 3550.014724$ と $3113.64$ をたし算します。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 3.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$92.3521$ と $27$ をたし算します。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$119.3521$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

ステップ 5.2.3

$- 436.374724$ を $14244.92377441$ で割ります。

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- 0.0306337$ です。

$- 0.0306337$

ステップ 5.3

$- 3.1$ で二次導関数は $- 0.0306337$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 3)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 3, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $6$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{3^{6}}{2^{6}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.4

$3$ を $6$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.5

$2$ を $6$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.6.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.6.2

$4$ を $64$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.6.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.7

$- 1 (\frac{729}{16})$ を $- (\frac{729}{16})$ に書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.8

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.8.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.8.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.9

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.10

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.11

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.12

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.13

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.13.1

$4$ を $324$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.13.2

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.13.3

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.14

$81$ に $9$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.15

$729$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.16

$729$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.17

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.18

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.18.1

$729$ に $16$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.18.2

$- 729$ と $11664$ をたし算します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$\frac{3^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$3$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.6

$27$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

ステップ 6.2.2.7

$27$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

ステップ 6.2.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

ステップ 6.2.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.9.1

$27$ に $16$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

ステップ 6.2.2.9.2

$81$ と $432$ をたし算します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

ステップ 6.2.2.10

積の法則を $\frac{513}{16}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

ステップ 6.2.2.11

$513$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

ステップ 6.2.2.12

$16$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

ステップ 6.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

ステップ 6.2.4

$729$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$729$ を $10935$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

ステップ 6.2.4.2

$729$ を $263169$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

ステップ 6.2.4.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

ステップ 6.2.4.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

ステップ 6.2.5

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$16$ を $256$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

ステップ 6.2.5.2

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

ステップ 6.2.5.3

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

ステップ 6.2.6

$15$ と $\frac{16}{361}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

ステップ 6.2.7

$15$ に $16$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

ステップ 6.2.8

最終的な答えは $\frac{240}{361}$ です。

$\frac{240}{361}$

ステップ 6.3

$- \frac{3}{2}$ で二次導関数は $0.66481994$ です。これは正の値なので、 $(- 3, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 3, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$3$ を $6$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$2$ を $6$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4.2

$4$ を $64$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4.4

式を書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5

$- 1 (\frac{729}{16})$ を $- (\frac{729}{16})$ に書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.6

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.7

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.8

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.9

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.9.1

$4$ を $324$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.9.2

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.9.3

式を書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.10

$81$ に $9$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.11

$729$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.12

$729$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.13

公分母の分子をまとめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.14.1

$729$ に $16$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.14.2

$- 729$ と $11664$ をたし算します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$3$ を $4$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4

$27$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.5

$27$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.7.1

$27$ に $16$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.7.2

$81$ と $432$ をたし算します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.8

積の法則を $\frac{513}{16}$ に当てはめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

ステップ 7.2.2.9

$513$ を $2$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

ステップ 7.2.2.10

$16$ を $2$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

ステップ 7.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

ステップ 7.2.4

$729$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$729$ を $10935$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

ステップ 7.2.4.2

$729$ を $263169$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

ステップ 7.2.4.3

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

ステップ 7.2.4.4

式を書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

ステップ 7.2.5

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

$16$ を $256$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

ステップ 7.2.5.2

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

ステップ 7.2.5.3

式を書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

ステップ 7.2.6

$15$ と $\frac{16}{361}$ をまとめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

ステップ 7.2.7

$15$ に $16$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

ステップ 7.2.8

最終的な答えは $\frac{240}{361}$ です。

$\frac{240}{361}$

ステップ 7.3

$\frac{3}{2}$ で二次導関数は $0.66481994$ です。これは正の値なので、 $(0, 3)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, 3)$ で増加

ステップ 8

区間 $(3, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3.1$ で置換えます。

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$3.1$ を $6$ 乗します。

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 4$ に $887.503681$ をかけます。

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

$3.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.4

$324$ に $9.61$ をかけます。

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.5

$- 3550.014724$ と $3113.64$ をたし算します。

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$3.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$92.3521$ と $27$ をたし算します。

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

$119.3521$ を $2$ 乗します。

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

ステップ 8.2.3

$- 436.374724$ を $14244.92377441$ で割ります。

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.0306337$ です。

$- 0.0306337$

ステップ 8.3

$3.1$ で二次導関数は $- 0.0306337$ です。これは負の値なので、 $(3, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(3, \infty)$ で減少

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ .

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例