微分積分例

$x^{3} \sin (x)$

ステップ 1

$x^{3} \sin (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} \sin (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x^{3} \sin (x) d x$

ステップ 4

$u = x^{3}$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x$

ステップ 5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x$

ステップ 6

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x)$

ステップ 7

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x$

ステップ 8

$u = x^{2}$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x)$

ステップ 9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x))$

ステップ 10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x)$

ステップ 11

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x))$

ステップ 12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x))$

ステップ 13.2

$\int \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x))$

ステップ 14

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$

ステップ 15

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$ を $- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$ に書き換えます。

$- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = x^{3} \sin (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$

微分積分 例

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